[論文レビュー] K-theory Classification of Graded Ultramatricial Algebras with Involution

Roozbeh Hazrat, Lia Vaš|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$A$ が十分なユニタリを備え、$A_0$ が 2-適切かつ $*$-ピタゴラス的である場合、$\Gamma$-graded $*$-field $A$ 上のgraded ultramatricial $*$-algebras が、graded Grothendieck 群 $K_{0}^{\text{gr}}$ によって完全に分類されることを確立する。この論文は、contractive $\mathbb{Z}[\Gamma]$-module homomorphisms を graded $*$-homomorphisms に上げる構成的公式を提供し、$K_{0}^\text{gr}$ がユニタリ共役を通じて $*$-isomorphisms を検出できることを証明しており、Leavitt path algebras や graded Isomorphism Conjecture への応用を含む。

ABSTRACT

We consider a generalization $K_0^{\operatorname{gr}}(R)$ of the standard Grothendieck group $K_0(R)$ of a graded ring $R$ with involution. If $Γ$ is an abelian group, we show that $K_0^{\operatorname{gr}}$ completely classifies graded ultramatricial $*$-algebras over a $Γ$-graded $*$-field $A$ such that (1) each nontrivial graded component of $A$ has a unitary element in which case we say that $A$ has enough unitaries, and (2) the zero-component $A_0$ is 2-proper (for any $a,b\in A_0,$ $aa^*+bb^*=0$ implies $a=b=0$) and $*$-pythagorean (for any $a,b\in A_0,$ $aa^*+bb^*=cc^*$ for some $c\in A_0$). If the involutive structure is not considered, our result implies that $K_0^{\operatorname{gr}}$ completely classifies graded ultramatricial algebras over any graded field $A.$ If the grading is trivial and the involutive structure is not considered, we obtain some well known results as corollaries. If $R$ and $S$ are graded matricial $*$-algebras over a $Γ$-graded $*$-field $A$ with enough unitaries and $f: K_0^{\operatorname{gr}}(R) o K_0^{\operatorname{gr}}(S)$ is a contractive $\mathbb Z[Γ]$-module homomorphism, we present a specific formula for a graded $*$-homomorphism $ϕ: R o S$ with $K_0^{\operatorname{gr}}(ϕ) = f.$ If the grading is trivial and the involutive structure is not considered, our constructive proof implies the known results with existential proofs. As an application of our results, we show that the graded version of the Isomorphism Conjecture holds for a class of Leavitt path algebras: if $E$ and $F$ are countable, row-finite, no-exit graphs in which every path ends in a sink or a cycle and $K$ is a 2-proper and $*$-pythagorean field, then the Leavitt path algebras $L_K(E)$ and $L_K(F)$ are isomorphic as graded rings if any only if they are isomorphic as graded $*$-algebras.

研究の動機と目的

• graded $*$-field 上の $*$-algebra に対して、$K_0$ を graded 版 $K_0^{\text{gr}}$ に一般化すること。
• graded ultramatricial $*$-algebras が $K_0^{\text{gr}}$ によって完全に分類される条件を特定すること。
• 合同な $\mathbb{Z}[\Gamma]$-module homomorphisms から、明示的な graded $*$-homomorphisms を構成すること。
• 2つの graded $*$-homomorphisms $\phi, \psi: R \to S$ が同じ $K_0^{\text{gr}}$ 写像を誘導するためのユニタリ共役基準を確立すること。
• 2-適切かつ $*$-ピタゴラス的であるような体上の Leavitt path algebras に対して、graded 版の Isomorphism Conjecture を証明すること。

提案手法

• graded ring $R$ に自己準同型を備えた場合の graded Grothendieck 群 $K_0^{\text{gr}}(R)$ を、$K_0(R)$ の一般化として導入する。
• graded $*$-field $A$ に対して「十分なユニタリ」の条件を定義し、その度零成分 $A_0$ に対して「2-適切」と「$*$-ピタゴラス的」の性質を定義する。
• これらの条件下で、$K_0^{\text{gr}}$ が contractive $\mathbb{Z}[\Gamma]$-module isomorphisms を通じて、$A$ 上の graded ultramatricial $*$-algebras を完全に分類できることを示す。
• 与えられた contractive $\mathbb{Z}[\Gamma]$-module homomorphism $f: K_0^{\text{gr}}(R) \to K_0^{\text{gr}}(S)$ から、明示的な graded $*$-homomorphism $\phi: R \to S$ を構成する。
• 2つの graded $*$-homomorphisms $\phi, \psi: R \to S$ に対して、$K_0^{\text{gr}}(\phi) = K_0^{\text{gr}}(\psi)$ であることが、$S$ 内の度零ユニタリ $u$ を用いて $\phi(r) = u\psi(r)u^*$ がすべての $r \in R$ に対して成り立つことと同値であることを証明する。
• 分類結果を、無限路が sink やサイクルに到達する可算・行有限・no-exit グラフの Leavitt path algebras に適用し、graded ring isomorphism が 2-適切かつ $*$-ピタゴラス的体上での $*$-代数同型を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 graded Grothendieck 群 $K_0^{\text{gr}}$ が、$\Gamma$-graded $*$-field $A$ 上の graded ultramatricial $*$-algebras を完全に分類するための条件は何か？
• RQ2 合同な $\mathbb{Z}[\Gamma]$-module homomorphisms が、対応する代数間の明示的な graded $*$-homomorphism に持ち上げられるか？
• RQ3 2つの graded $*$-homomorphisms $\phi, \psi: R \to S$ が、それらの $K_0^{\text{gr}}$-像に関してどのように同値であるか？
• RQ4 $K_0^{\text{gr}}$ は、2-適切かつ $*$-ピタゴラス的体上の no-exit グラフの Leavitt path algebras 間の $*$-isomorphism を検出できるか？
• RQ5 base field が 2-適切かつ $*$-ピタゴラス的であるとき、Leavitt path algebras に対して graded Isomorphism Conjecture は成り立つか？

主な発見

• graded Grothendieck 群 $K_0^{\text{gr}}$ は、$A$ が十分なユニタリを備え、$A_0$ が 2-適切かつ $*$-ピタゴラス的である場合、$\Gamma$-graded $*$-field $A$ 上の graded ultramatricial $*$-algebras を完全に分類する。
• 任意の contractive $\mathbb{Z}[\Gamma]$-module homomorphism $f: K_0^{\text{gr}}(R) \to K_0^{\text{gr}}(S)$ に対して、$K_0^{\text{gr}}(\phi) = f$ を満たす graded $*$-homomorphism $\phi: R \to S$ を明示的な公式で構成可能である。
• 2つの graded $*$-homomorphisms $\phi, \psi: R \to S$ に対して、$K_0^{\text{gr}}(\phi) = K_0^{\text{gr}}(\psi)$ であることが、$S$ 内の度零ユニタリ $u$ が存在して、すべての $r \in R$ に対して $\phi(r) = u\psi(r)u^*$ が成り立つことと同値である。
• 任意の体 $K$ に対して、可算・行有限・no-exit グラフの Leavitt path algebras $L_K(E)$ と $L_K(F)$ は、ring として graded isomorphic であることが、$K_0^{\text{gr}}(L_K(E))$ と $K_0^{\text{gr}}(L_K(F))$ 間の contractive $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-module isomorphism が存在することと同値である。
• 体 $K$ が 2-適切かつ $*$-ピタゴラス的であるとき、$L_K(E) \cong_{\text{gr}} L_K(F)$ が graded ring として成り立つことは、それらが graded $*$-algebras として同型であることと同値であり、このクラスに対して graded version の Isomorphism Conjecture を確立する。
• $K_0^{\text{gr}}$ は $K_0$ よりもきめ細やかな不変量であることが、$K_0$ では区別できない代数を区別できる例によって示されている。