[論文レビュー] K-Theory in Quantum Field Theory

Daniel S. Freed|ArXiv.org|Jun 18, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、位相的K理論と量子場理論の間の深い関係を確立し、K理論が境界状態がKモジュールを形成するcodimension 2における位相的量子場理論（TQFT）において自然に現れることを示している。さらに、ディラック作用素のPfaffianを介してK理論と異常を結びつけ、超弦理論におけるラムオン＝ラモンド電荷の量子化にも関連させ、微分K理論が異常キャンセリングの幾何的枠組みを提供することを示している。主な結果には、ヴェルリンデ代数がねじれ付き等変換K群として同定されること、およびK理論がグリーン＝シュヴァルツ異常キャンセリングに果たす役割が含まれる。

ABSTRACT

We survey three different ways in which K-theory in all its forms enters quantum field theory. In Part 1 we give a general argument which relates topological field theory in codimension two with twisted K-theory, and we illustrate with some finite models. Part 2 is a review of pfaffians of Dirac operators, anomalies, and the relationship to differential K-theory. Part 3 is a geometric exposition of Dirac charge quantization, which in superstring theories also involves differential K-theory. Parts 2 and 3 are related by the Green-Schwarz anomaly cancellation mechanism. An appendix, joint with Jerry Jenquin, treats the partition function of Rarita-Schwinger fields.

研究の動機と目的

• 拡張された位相的量子場理論におけるcodimension 2での位相的K理論の自然な出現を説明すること。特に境界状態の構造を通じて。
• ねじれ付きK理論と3次元の Chern-Simons 理論との間の関係を確立し、ヴェルリンデ代数をねじれ付き等変換K群として同定すること。
• フェルミオン場理論における幾何的異常（Pfaffian線束に符号される）が微分K理論によって計算可能であることを示すこと。
• 超弦理論におけるラムオン＝ラモンド電荷の量子化が、通常のコホロジーではなくK理論によって支配されることを示すこと。
• 微分K理論における修正された幾何的アティヤ＝シンガー指数定理を通じて、グリーン＝シュヴァルツの異常キャンセリング機構において局所的および大域的異常を統一すること。

提案手法

• 標準的なTQFTにおける状態空間の割り当てを一般化し、拡張TQFT形式を用いて(n−2)次元多様体にKモジュールを割り当てる。
• 有限ゲージ化されたσ模型を、境界状態カテゴリがねじれ付きKモジュールであるTQFTの具体的実装として分析する。
• アティヤ＝シンガー指数定理を適用し、位相的異常を計算し、ディラック作用素の記号のK理論類と結びつける。
• フェルミオン的家族のディラック作用素のPfaffian線束を幾何的異常として導入し、ヒルベルト計量と接続を備える。
• 微分K理論を用いて指数定理を精緻化し、幾何的異常を計算可能とし、異常キャンセリング機構と結びつける。
• K理論における一般化された微分コキュールを用いて、電気的および磁気的電流を記述し、局所的ダイナミクスと大域的電荷の量子化を両方符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的K理論は、codimension 2における拡張された位相的量子場理論でどのように自然に出現するのか？
• RQ2 2次元位相的理論における境界状態のカテゴリの正確な数学的構造は何か？ そしてK理論とどのように関係しているのか？
• RQ3 コンパクトなゲージ群を伴う3次元Chern-Simons理論におけるヴェルリンデ代数は、ねじれ付き等変換K群として同定可能か？
• RQ4 フェルミオン的経路積分に符号される幾何的異常（Pfaffian線束に符号される）は、微分K理論とどのように関係しているのか？
• RQ5 なぜ超弦理論におけるラムオン＝ラモンド電荷の量子化は、通常のコホロジーではなくK理論によって支配されるのか？

主な発見

• 2次元位相的量子場理論における境界状態のカテゴリは自然にKモジュールである。これはK理論の出現に対する物理的根拠を提供する。
• コンパクトなゲージ群を伴う3次元Chern-Simons理論におけるヴェルリンデ代数は、ねじれ付き等変換K群として同定された。これは有限群に関する結果を拡張する。
• フェルミオン場理論における位相的異常は、アティヤ＝シンガー指数定理によって計算され、そのインデックスはK理論に値を取る。
• 幾何的異常（計量および接続を備えたPfaffian線束）は微分K理論において計算可能であり、修正された指数公式を提供する。
• 超弦理論におけるラムオン＝ラモンド電荷はK理論において量子化され、電気的カップリング異常とフェルミオン異常とのキャンセリングが、両者を微分K理論で記述した場合に成立する。
• グリーン＝シュヴァルツの異常キャンセリング機構は、家族に対する幾何的アティヤ＝シンガー指数定理を通じて統一され、微分K理論において局所的および大域的異常が両方とも捉えられる。