[論文レビュー] K-theory of C^*-algebras from one-dimensional generalized solenoids

Inhyeop Yi|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元一般化ソリノイドに関連するC*-代数のK理論を計算し、そのRuelle代数がCuntz-Krieger代数の1次元版であることを示している。Pimsner-Voiculescuの完全系列、普遍係数定理、Spanier-Whitehead双対性を用いて、隣接行列のスミス標準形および核構造を用いてK₀およびK₁群の明示的公式を導出する。

ABSTRACT

We compute the K-groups of C^*-algebras arising from one-dimensional generalized solenoids. The results show that Ruelle algebras from one-dimensional generalized solenoids are one-dimensional generalizations of Cuntz-Krieger algebras.

研究の動機と目的

• 1次元一般化ソリノイドから生じるRuelle代数のK理論群を計算すること。
• これらの代数がCuntz-Krieger代数の1次元一般化であることを確立すること。
• トポロジカルおよび代数的道具を用いて、不安定および安定同値代数のK₀およびK₁群を特定すること。
• Kirchberg-Phillips分類定理を適用して、安定および不安定Ruelle代数の*-同型を示すこと。

提案手法

• ソリノイド空間 $ \overline{X} $ 上に、位相およびハール測度を備えた安定および不安定同値群コホーズ $ G_s $ と $ G_u $ を構成する。
• 縮小群コホーズC*-代数 $ S(\overline{X},\overline{f}) $ および $ U(\overline{X},\overline{f}) $ を作成し、それらを $ \mathbb{Z} $ との半直積で組み合わせることでRuelle代数 $ R_s $ および $ R_u $ を得る。
• Pimsner-Voiculescuの完全系列を用いて、クロス積のK理論を元の代数のK理論に関連付ける。
• 普遍係数定理およびSpanier-Whitehead双対性を適用して、$ K_* $-群から $ K^* $-群を計算する。
• 隣接行列 $ M $ をスミス標準形に変換し、$ \Delta_M / \mathrm{Im}(Id - \delta_M) $ および $ \mathrm{Ker}(Id - \delta_M) $ を計算する。
• Kirchberg-Phillips分類定理を用いて、両方が核的で、純粋に無限大で、分離可能かつ単純な場合に $ R_s $ と $ R_u $ が*-同型であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元一般化ソリノイドに関連するRuelle代数のK理論群は何か？
• RQ2 不安定および安定同値代数のK₀およびK₁群は、ソリノイドの隣接行列とどのように関係しているか？
• RQ3 これらのC*-代数は1次元設定においてCuntz-Krieger代数をどの程度一般化しているか？
• RQ4 安定および不安定Ruelle代数は*-同型であるか。もしそうならば、どのような条件下でそうなるか？
• RQ5 隣接行列のスミス標準形といった代数的不変量を用いて、これらの代数のK理論を完全に決定できるか？

主な発見

• 不安定同値代数 $ U(\overline{X},\overline{f}) $ のK₀群は、隣接行列 $ M $ の次元群と順序同型であり、そのK₁群は $ \mathbb{Z} $ に同型である。
• 安定Ruelle代数 $ R_s(\overline{X},\overline{f}) $ のK₀群は $ \mathbb{Z} \oplus \{ \Delta_M / \mathrm{Im}(Id - \delta_M) \} $ に同型であり、ここで $ \Delta_M / \mathrm{Im}(Id - \delta_M) \cong \bigoplus_{i=1}^n \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z} $ はスミス標準形を用いて得られる。
• 安定Ruelle代数 $ R_s(\overline{X},\overline{f}) $ のK₁群は $ \mathbb{Z} \oplus \mathrm{Ker}(Id - \delta_M) $ に同型であり、$ \mathrm{Ker}(Id - \delta_M) $ の次元はスミス標準形における対角成分のゼロの個数に等しい。
• 不安定Ruelle代数 $ R_u(\overline{X},\overline{f}) $ のK₁群は $ \mathbb{Z} \oplus \mathrm{Ker}(Id - \delta_M) $ に同型であり、そのK₀群は $ \mathbb{Z} \oplus \{ \Delta_M / \mathrm{Im}(Id - \delta_M) \} $ に同型である。
• Kirchberg-Phillips分類定理により、両方の代数が核的で、純粋に無限大で、分離可能かつ単純なC*-代数であるため、不安定および安定Ruelle代数は*-同型である。
• K理論の計算は普遍係数定理およびExtおよびHom系列の分解に依存するが、完全系列が分解しないため、同型は自然でない。