[論文レビュー] $K$-theory of Leavitt path algebras

Pere Ara, Miquel Brustenga+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、行有限なクウェイバ $E$ に対する代数的 $K$-理論における $L_R(E)$ の長完全系列を確立する。この系列は、行列 $1 - N_E^t$ を介して $K_n(L_R(E))$ と $K_n(R)$ を結ぶ。ノエター正則環または安定 $C^*$-代数の場合、この系列は正確であり、$\frak{A}$ が安定または $\frak{A} = \bbC$ で $\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$ のとき、$L_{\frak{A}}(E)$ の代数的 $K$-理論と Cuntz-Krieger 代数 $C^*_{\frak{A}}(E)$ の位相的 $K$-理論が一致する。この結果は、これらの代数の代数的および位相的 $K$-理論的不変量を一般化・統一する。

ABSTRACT

Let $E$ be a row-finite quiver and let $E_0$ be the set of vertices of $E$; consider the adjacency matrix $N'_E=(n_{ij})\in\Z^{(E_0 imes E_0)}$, $n_{ij}=#\{$ arrows from $i$ to $j\}$. Write $N^t_E$ and 1 for the matrices $\in \Z^{(E_0 imes E_0\setminus\Sink(E))}$ which result from $N'^t_E$ and from the identity matrix after removing the columns corresponding to sinks. We consider the $K$-theory of the Leavitt algebra $L_R(E)=L_\Z(E)\otimes R$. We show that if $R$ is either a Noetherian regular ring or a stable $C^*$-algebra, then there is an exact sequence ($n\in\Z$) \[ K_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow} K_n(R)^{(E_0)} o K_n(L_R(E)) o K_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))} \] We also show that for general $R$, the obstruction for having a sequence as above is measured by twisted nil-$K$-groups. If we replace $K$-theory by homotopy algebraic $K$-theory, the obstructions dissapear, and we get, for every ring $R$, a long exact sequence \[ KH_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow}KH_n(R)^{(E_0)} o KH_n(L_R(E)) o KH_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))} \] We also compare, for a $C^*$-algebra $\fA$, the algebraic $K$-theory of $L_\fA(E)$ with the topological $K$-theory of the Cuntz-Krieger algebra $C^*_\fA(E)$. We show that the map \[ K_n(L_\fA(E)) o K^{ op}_n(C^*_\fA(E)) \] is an isomorphism if $\fA$ is stable and $n\in\Z$, and also if $\fA=\C$, $n\ge 0$, $E$ is finite with no sinks, and $\det(1-N_E^t) e 0$.

研究の動機と目的

• 行有限なクウェイバ $E$ に関連する Leavitt パス代数 $L_R(E)$ における代数的 $K$-理論の長完全系列を確立すること。
• 一般の環 $R$ に対して、この系列の正確性の障害をねじれ nil-$K$-群の観点で同定すること。
• ノエター正則環または安定 $C^*$-代数の場合、この障害が消滅し、完全な完全系列が得られることを示すこと。
• $C^*$-代数 $\frak{A}$ に対して、$L_{\frak{A}}(E)$ の代数的 $K$-理論と Cuntz-Krieger 代数 $C^*_{\frak{A}}(E)$ の位相的 $K$-理論を比較すること。
• ${\frak{A}}$ が安定または ${\frak{A}} = \bbC$ で $\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$ のとき、比較写像 $K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$ が同型であることを証明すること。

提案手法

• 期待される $K$-理論系列をモデル化するため、ホモトピーコファイバー構成 $C = \text{hocofiber}(K(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))} \to K(R)^{(E_0)})$ の使用。
• 特に Suslin および Wodzicki の拡張定理を応用し、$K$-理論の環拡張における振る舞いを分析。
• $H'$-ユニタリティおよび $H$-ユニタリティの導入により、$K$-理論が拡張を満たす環（特にねじれ多項式環の文脈）を特徴づける。
• $KH_*$ におけるホモトピー代数的 $K$-理論を用いて障害を排除する。$KH_*$ は普遍的に拡張を満たす。
• 自然な比較写像 $\rho_n: K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$ の構成と、主要な場合での同型の証明。
• $K$-正則性を有する安定 $C^*$-代数およびそのテンソル積を活用し、$K$-理論と $KH$-理論が一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、Leavitt パス代数 $L_R(E)$ の $K$-理論が、$K_n(R)$ と行列 $1 - N_E^t$ を含む長完全系列に適合するか？
• RQ2 一般の環 $R$ に対して、このような長完全系列の障害の性質は何か？
• RQ3 $L_{\frak{A}}(E)$ の代数的 $K$-理論が、Cuntz-Krieger 代数 $C^*_{\frak{A}}(E)$ の位相的 $K$-理論と一致するのはいつか？
• RQ4 安定 $C^*$-代数 $\frak{A}$ に対して、比較写像 $K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$ は同型か？
• RQ5 $\frak{A} = \bbC$ で $\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$ のとき、代数的および位相的 $K$-理論の同型は保たれるか？

主な発見

• 任意の行有限クウェイバ $E$ および環 $R$ に対して、ホモトピー代数的 $K$-理論における長完全系列が成り立つ：$KH_n(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))} \to KH_n(R)^{(E_0)} \to KH_n(L_R(E)) \to KH_{n-1}(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))}$。
• 環 $R$ がノエター正則環または安定 $C^*$-代数である場合、ねじれ nil-$K$-群は消滅し、系列 $K_n(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))} \to K_n(R)^{(E_0)} \to K_n(L_R(E)) \to K_{n-1}(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))}$ は正確になる。
• $R = \bbC$、$E$ が有限で sink を持たず、$\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$ のとき、比較写像 $K_n(L_{\bbC}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\bb{C}}(E))$ はすべての $n \neq 0$ に対して同型である。
• 任意の安定 $C^*$-代数 $\frak{A}$ に対して、すべての $n \neq 0$ で写像 $K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$ は同型である。
• 安定 $C^*$-代数およびそのテンソル積の $K$-正則性により、$K$-理論と $KH$-理論が一致し、代数的 $K$-理論の文脈で完全系列が成立することが保証される。
• ${\frak{A}}$ が安定 $C^*$-代数であるとき、$K$-正則性と同型 $K_n(\frak{A}) \to K^{\rm top}_n(\frak{A})$ を用いて、比較写像 $\rho_n: K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$ が同型であることが示される。