[論文レビュー] $k$-Universality of Regular Languages

Duncan Adamson, Pamela Fleischmann+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、正則言語におけるk-ユニバーサルの2つの概念、k-∃-部分列ユニバーサル（存在）とk-∀-部分列ユニバーサル（ユニバーサル）を導入し、アルファベットサイズをパrameterとするFPTアルゴリズムを提供する。アルファベットが小さい場合、両者の性質を多項式時間で決定できる。主な貢献は、k-部分列ユニバーサルな語／パスの数え上げとランク付けを効率的に行うFPTに基づくフレームワークであり、実行時間はkに依存せず、アルファベットが小さい場合には状態数に関して多項式時間で動作する。

ABSTRACT

A subsequence of a word w is a word u such that u = w[i₁] w[i₂] … w[i_k], for some set of indices 1 ≤ i₁ < i₂ < … < i_k ≤ |w|. A word w is k-subsequence universal over an alphabet Σ if every word in Σ^k appears in w as a subsequence. In this paper, we study the intersection between the set of k-subsequence universal words over some alphabet Σ and regular languages over Σ. We call a regular language L k-∃-subsequence universal if there exists a k-subsequence universal word in L, and k-∀-subsequence universal if every word of L is k-subsequence universal. We give algorithms solving the problems of deciding if a given regular language, represented by a finite automaton recognising it, is k-∃-subsequence universal and, respectively, if it is k-∀-subsequence universal, for a given k. The algorithms are FPT w.r.t. the size of the input alphabet, and their run-time does not depend on k; they run in polynomial time in the number n of states of the input automaton when the size of the input alphabet is O(log n). Moreover, we show that the problem of deciding if a given regular language is k-∃-subsequence universal is NP-complete, when the language is over a large alphabet. Further, we provide algorithms for counting the number of k-subsequence universal words (paths) accepted by a given deterministic (respectively, nondeterministic) finite automaton, and ranking an input word (path) within the set of k-subsequence universal words accepted by a given finite automaton.

研究の動機と目的

• 正則言語におけるk-ユニバーサルの2つの新しい概念、k-∃-部分列ユニバーサル（存在）とk-∀-部分列ユニバーサル（ユニバーサル）を形式化し、分析すること。
• 有限オートマトンによって表現される正則言語がk-∃-またはk-∀-部分列ユニバーサルであるかどうかを決定するための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 決定的または非決定的有限オートマトンによって受理されるk-部分列ユニバーサルな語またはパスの数え上げとランク付けのための計算ツールボックスを提供すること。
• k-∃-部分列ユニバーサル性問題の複雑さを調査し、アルファベットが大きい場合にはNP完全であることを示すこと。
• 実行時間のkに依存しないアルゴリズムを設計し、入力アルファベットサイズがO(log n)のとき、多項式時間で動作させること。

提案手法

• k-部分列ユニバーサル語を、Σ上での長さkのすべての語を部分列として含む語として定義する。
• 2つの言語レベルの概念を導入する：k-∃-部分列ユニバーサル（Lに属するある語がk-ユニバーサルである）とk-∀-部分列ユニバーサル（Lに属するすべての語がk-ユニバーサルである）。
• パスの接頭辞における到達可能性と部分列カバレッジを追跡するための動的計画法テーブルT(PR)とU(PR)を構築する。
• 現在の状態、パス長、見た異なる記号の数、記号集合をパラメータとする状態ベースの動的計画法を用い、部分列ユニバーサリティを符号化する。
• アルファベットサイズσに関してFPTフレームワークを活用し、実行時間のσとn（状態数）に依存するが、kには依存しないようにする。
• 接頭辞に基づくテーブルと受け入れ状態での総和を用いて、与えられた語未満のすべてのk-ユニバーサル語の数を数えることで、辞書的ランクを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた有限オートマトン表現に基づき、正則言語がk-∃-部分列ユニバーサルであるかどうかをFPT時間で決定できるか？
• RQ2 正則言語がk-∀-部分列ユニバーサルであるかどうかを決定する際の複雑さは何か？そして、これを効率的に実行できるか？
• RQ3 アルファベットが大きい場合、k-∃-部分列ユニバーサル性問題はNP完全か？
• RQ4 与えられた有限オートマトンによって受理されるk-部分列ユニバーサルな語またはパスの数を効率的に数え上げられるか？
• RQ5 与えられたk-ユニバーサル語の辞書的ランクを、有限オートマトンによって受理されるすべてのk-ユニバーサル語の中で計算できるか？

主な発見

• 入力アルファベットが大きい場合、k-∃-部分列ユニバーサル性を決定する問題は、正則言語に対してもNP完全である。
• k-∃-およびk-∀-部分列ユニバーサル性を決定するアルゴリズムは、アルファベットサイズσに関してFPT時間で動作し、σ = O(log n)のときn（状態数）に関して多項式時間で動作する。
• 長さmのパスに対して、決定的または非決定的有限オートマトンによって受理されるk-部分列ユニバーサル語（またはパス）の数は、O*(m²n²k²σ)時間で計算可能である。
• 長さmのk-ユニバーサル語wの、m-長さのk-ユニバーサル語の集合内での辞書的ランクは、O*(m²n²k²σ)時間で計算可能である。
• 長さがm以下の語に関しては、ランクはO*(m²n²k²σ)時間で計算可能であり、言語内のすべての語に関しては、O*(n⁴k³σ)時間でランクが計算可能である。
• このフレームワークは決定的および非決定的有限オートマトンの両方をサポートしており、語の数え上げとパスの数え上げの両方で成り立つ。