[論文レビュー] $K3$ curves with index $k>1$.

Ciro Ciliberto, Thomas Dedieu|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$k > 1$ である K3 曲線を、忘却写像 $c^k_g: \mathcal{KC}^k_g \to \mathcal{M}_g$ を分析することで研究し、一般ファイバーの次元を幾何的に計算する。主な結果は、ファイバー次元が非自明となるのは、K3 表面が完全交差または Mukai 多様体の断面である場合に限ることであり、$k$-スピン曲線の分類および重み付き射影空間内での完全交差としての普遍拡大の明示的構成が得られる。

ABSTRACT

Let $\mathcal{KC}_g ^k$ be the moduli stack of pairs $(S,C)$ with $S$ a $K3$ surface and $C\subset S$ a genus $g$ curve with divisibility $k$ in $\mathrm{Pic}(S)$. In this article we study the forgetful map $c_g^k:(S,C) \mapsto C$ from $\mathcal{KC}_g ^k$ to $\mathcal{M}_g$ for $k>1$. First we compute by geometric means the dimension of its general fibre. This turns out to be interesting only when $S$ is a complete intersection or a section of a Mukai variety. In the former case we find the existence of interesting Fano varieties extending $C$ in its canonical embedding. In the latter case this is related to delicate modular properties of the Mukai varieties. Next we investigate whether $c_g^k$ dominates the locus in $\mathcal{M}_g$ of $k$-spin curves with the appropriate number of independent sections. We are able to do this only when $S$ is a complete intersection, and obtain in these cases some classification results for spin curves.

研究の動機と目的

• 一般ファイバーの次元を $k > 1$ の場合に $c^k_g: \mathcal{KC}^k_g \to \mathcal{M}_g$ に対して計算し、$k=1$ の原始的ケースの先行研究を拡張すること。
• K3 表面が完全交差である場合に、$c^k_g$ が $g_1 + 1$ 個の独立な切断を持つ $k$-スピン曲線の系列を支配するかどうかを調査すること。
• 一般のインデックス $k > 1$ の K3 曲線の普遍拡大 $X$ を構成し、特に $S$ が完全交差または Mukai 多様体の断面である場合にその記述を行うこと。
• 重み付き射影空間内での完全交差としての普遍拡大の幾何的構成を提供し、[9] のコhomology的計算による結果を回復および精緻化すること。
• Mukai 多様体およびその断面のモジュラー性質を調べ、特に自己同型群 $G = \mathrm{Aut}(M_{g_1})$ および $C$ のモデルの共轭性との関係を検討すること。

提案手法

• Gauss–Wahl 写像 $\Phi_C$ の幾何的解析により、コランクを計算し、これにより $c^k_g$ のファイバー次元が定まる。
• 反 canonical ディバイザー類を用いて、重み付き射影空間内での完全交差として、普遍拡大 $X$ の明示的構成を行う。
• 特に $S$ が完全交差である場合に、$S$ 上の線形系とその $C$ への引き戻しを分析することで、一般ファイバー $ (c^k_g)^{-1}(C) $ の分類を行う。
• Gorenstein Fano 3 次多様体の genus に対する Prokhorov の境界を用いて、$c^k_g$ が正次元ファイバーを持つような $g$ の範囲を制限する。
• $c^k_g$ を $k$-スピン曲線で $h^0(\theta) \geq g_1 + 1$ であるようなモジュライスタック $S^{1/k}_{g_1,g}$ を通じて因数分解し、既知のスピン曲線のモジュライと比較可能にする。
• 表面モデル（例えば、有理スクリューフォールド、del Pezzo 表面、$\mathbb{P}^2$ の吹き増し）のケースバイケース分析により、$g^1_8$ を引き起こす構成を除外し、ファイバー構造を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $g_1$ および $k > 1$ の値に対して、$c^k_g: \mathcal{KC}^k_g \to \mathcal{M}_g$ の一般ファイバーの次元が非自明となるか？
• RQ2 一般のインデックス $k > 1$ の K3 曲線 $C$ の普遍拡大 $X$ は、重み付き射影空間内での完全交差として明示的に構成可能か？
• RQ3 Mukai 多様体 $M_{g_1}$ は、$k=1$, $g_1 > 6$ および $k=2$, $g_1=6$ の場合に、$c^k_g$ の像内の一般曲線の普遍拡大として機能するか？
• RQ4 一般のインデックス $k > 1$ の K3 曲線 $C$ が Mukai 多様体の断面である場合、$C$ のすべてのモデルが $\mathrm{Aut}(M_{g_1})$ の作用で共轭するか？
• RQ5 $c^k_g$ の忘却写像は、$g_1 + 1$ 個の独立な切断を持つ $k$-スピン曲線のモジュライ空間をどの程度支配するか？

主な発見

• 一般ファイバーの次元が正であるのは、$g_1 \in \{3,4,5\}$（完全交差の場合）または $g_1 \in \{6,7,8,9,10\}$（Mukai 多様体の場合）に限られ、$g > 37$ では、有限個の $g_1, k$ の組を除き一般に単射となる。
• $g_1 \in \{3,4,5\}$ の場合、一般の K3 曲線 $C$ の普遍拡大 $X$ は重み付き射影空間内での完全交差として構成され、$| -K_X |$ に属する除数による埋め込みで与えられる。この構成は、[9] でコhomology的に計算された Gauss–Wahl 写像のコランクを回復する。
• $g_1 = 6$, $k = 2$ の場合、一般ファイバーの次元は 1 であり、Mukai 多様体 $M_6$ は像内の一般曲線の普遍拡大である。
• $g_1 = 6$, $k = 2$ の場合、モジュライスタック $S^{1/2}_{6,g}$ は $\mathcal{KC}^2_g$ を支配し、像内の一般曲線は $h^0(\theta) = 7$ を満たす $k$-スピン曲線である。
• $k=1$, $g_1 > 6$ および $k=2$, $g_1 = 6$ の場合、Mukai 多様体 $M_{g_1}$ は $\mathrm{im}(c^k_g)$ 内の一般曲線の普遍拡大であることが確認され、自然な予想が裏付けられる。
• $h^0(\theta) = g_1 + 1$ を満たす $S^{1/k}_{g_1,g}$ 内の $k$-スピン曲線の明示的例（基点を含む場合や特異なモデルを含む場合も含む）が構成され、$c^k_g$ の像が基点なし $k$-スピン曲線の系列を厳密に超えることが示される。