[論文レビュー] K3 surfaces with maximal finite automorphism groups containing $M\_{20}$

Cédric Bonnafé, A. Sarti|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、マチュー群 $M_{20}$ を含む最大有限自己同型群をもつK3曲面を分類し、ちょうど3つの such K3曲面が存在することを証明している：Kummer曲面 $\operatorname{Km}(E_i \times E_i)$、$\operatorname{Km}(E_{i\sqrt{10}} \times E_{i\sqrt{10}})$、および $\tau = \frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}$ に対する $\operatorname{Km}(E_\tau \times E_{2\tau})$。すべての3つについて明示的な方程式が与えられ、その超越格子が計算され、群論的および格子論的議論により一意性が確認されている。

ABSTRACT

It was shown by Mukai that the maximum order of a finite group acting faithfully and symplectically on a K3 surface is $960$ and that the group is isomorphic to the group $M\_{20}$. Then Kondo showed that the maximum order of a finite group acting faithfully on a K3 surface is $3\,840$ and this group contains the Mathieu group $M\_{20}$ with index four. Kondo also showed that there is a unique K3 surface on which this group acts faithfully, which is the Kummer surface $\Km(E\_i imes E\_i)$. In this paper we describe two more K3 surfaces admitting a big finite automorphism group of order $1\,920$, both groups contains $M\_{20}$ as a subgroup of index 2. We show moreover that these two groups and the two K3 surfaces are unique. This result was shown independently by S. Brandhorst and K. Hashimoto in a forthcoming paper, with the aim of classifying all the finite groups acting faithfully on K3 surfaces with maximal symplectic part.

研究の動機と目的

• 有限群 $\Gamma$ が $M_{20}$ を正規部分群として持ち、$[\Gamma : M_{20}] = 2$ または $4$ であるような、$M_{20} \triangleleft \Gamma$ かつ $\Gamma$ が非退化的で非シンプレクティックに作用するK3曲面をすべて分類すること。
• このようなK3曲面の同型類の一意性およびその自己同型群を特定すること、特に $\Gamma$ が最大である場合に注目すること。
• 上記の自己同型群をもつ3つのK3曲面それぞれについて、超越格子を計算すること。
• これまでに知られていなかった2つのK3曲面について、明示的な方程式を構成すること、特に重み付き射影空間内の完全交差としての表現を含むこと。
• すべての3つの曲面が、複素乗法を持つ楕円曲線の積のKummer曲面であることを示すこと。

提案手法

• 群の完全系列 $1 \to M_{20} \to \Gamma \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 1$ を用いて、$\Gamma$ の正則2形式への作用を解析し、非シンプレクティック作用を分類すること。
• 定理2.7の適用により、可能なK3曲面を3つの候補に制限する：$X_{\mathrm{Ko}}$、$X_{\mathrm{Mu}}$、$X_{\mathrm{BH}}$。
• ShiodaおよびMitaniの結果を用いた格子論的技法により、各曲面の超越格子を計算すること。
• Inoseの結果を用いて $X_{\mathrm{Ko}}$ を $\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$ 内の完全交差として明示的に構成し、$X_{\mathrm{BH}}$ については $M_{20}$ の $\mathbb{P}^5$ 上の作用を詳細に分析すること。
• Magmaを用いて群作用、軌道構造、および $X_{\mathrm{BH}}$ に16個の互いに交わらない有理曲線からなるNikulin配置が存在することを検証すること。
• $G_{\mathrm{Ko}}$ の最大性および $PG_{\mathrm{Mu}}$ と $PG_{\mathrm{BH}}$ が $G_{\mathrm{Ko}}$ の部分群に同型でないことに基づき、3つの群の一意性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限自己同型群が $M_{20}$ を正規部分群として含み、かつその真に大きい群として作用するK3曲面は存在するか？
• RQ2 このような自己同型群をもつK3曲面の可能性は何か？ それらは一意的か？
• RQ3 これらのK3曲面の超越格子は何か？ それらは3つの曲面をどのように区別するか？
• RQ4 これまでこの文脈で知られていなかった2つのK3曲面について、明示的な方程式を構成できるか？
• RQ5 これらの曲面は16個の互いに交わらない滑らかな有理曲線からなるNikulin配置をもつのか？ そしてそれが明示的に記述可能か？

主な発見

• 有限群 $\Gamma$ が $M_{20} \triangleleft \Gamma$ かつ $[\Gamma : M_{20}] = 2$ または $4$ を満たすような、$M_{20}$ を正規部分群として持ち、非退化的で非シンプレクティックに作用するK3曲面はちょうど3つ存在する。
• 3つのK3曲面は、$X_{\mathrm{Ko}} \cong \operatorname{Km}(E_i \times E_i)$、$X_{\mathrm{Mu}} \cong \operatorname{Km}(E_{i\sqrt{10}} \times E_{i\sqrt{10}})$、および $X_{\mathrm{BH}} \cong \operatorname{Km}(E_\tau \times E_{2\tau})$ であり、$\tau = \frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}$ である。
• $X_{\mathrm{Mu}}$ の超越格子は $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 8 \rangle$ に等長的であり、$X_{\mathrm{BH}}$ のそれは $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 4 \rangle$ である。一方、$X_{\mathrm{Ko}}$ の超越格子は $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 40 \rangle$ である。
• $X_{\mathrm{BH}}$ は $\mathbb{P}^5$ 内の3つの2次曲面の完全交差として滑らかに実現され、$M_{20}$ の $\mathbb{P}^5$ 上の作用から導かれる明示的な方程式が得られている。
• $X_{\mathrm{BH}}$ に16個の互いに交わらない滑らかな有理曲線からなるNikulin配置が、$\mathscr{A}$-軌道として明示的に構成されている。ここで $\mathscr{A}$ は位数32の部分群である。
• $PG_{\mathrm{Mu}}$ と $PG_{\mathrm{BH}}$ は $G_{\mathrm{Ko}}$ の部分群に同型でないため、3つのK3曲面は互いに同型でなく、それらの自己同型群は最大であることが確認された。