[論文レビュー] Kac-Moody Algebras in M-theory

Sophie de Buyl|ArXiv.org|Aug 23, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 140被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、トーラスに compactified された M-理論の低エネルギー有効作用素における無限次元 Kac-Moody代数、特に E10 および E11 の役割を調査する。3次元に次元削減し、形式場をスカラーに双対化することで、E10 および E11 代数によって支配される純粋スカラーのラグランジアンが得られ、M-理論の全 U-duality 対称性がこれら代数に符号化されており、その力学に隠れた代数的枠組みが存在することを示唆する。

ABSTRACT

In this thesis, we consider several aspects of over-extended and very-extended Kac-Moody algebras in relation with theories of gravity coupled to matter. In the first part, we focus on the occurrence of KM algebras in the cosmological billiards. We analyse the billiards in the simplified situation of spatially homogeneous cosmologies. The most generic cases lead to the same algebras as those met in the general inhomogeneous case, but also sub-algebras of the "generic" ones appear. Next, we consider particular gravitational theories which, upon toroidal compactification to D=3 space-time dimensions, reduce to a theory of gravity coupled to a symmetric space non-linear sigma-model. We show that the billiard analysis gives direct information on possible dimensional oxidations (or on their obstructions) and field content of the oxidation endpoint. We also consider all hyperbolic Kac-Moody algebras and completely answer the question of whether or not a specific theory exists admitting a billiard characterised by the given hyperbolic algebra. In the second part, we turn to the set up of such gravity-matter theories through the building of an action explicitly invariant under a Kac-Moody group. As a first step to include fermions, we check the compatibility of the presence of a Dirac fermion with the (hidden duality) symmetries appearing in the toroidal compactification down to 3 space-time dimensions. Next, we investigate how the fermions (with spin 1/2 or 3/2) fit in the conjecture for hidden over-extended symmetry G++. Finally, in the context of G+++ invariant actions, we derive all the possible signatures for all the GB++ theories that can be obtained from the conventional one (1,D-1) by "dualities" generated by Weyl reflections. This generalizes the results obtained for E8++.

研究の動機と目的

• M-理論の低エネルギー有効作用素における Kac-Moody代数、特に E10 および E11 がどのように対称性として現れるかを調査すること。
• 3+1次元における M-理論の U-duality 群が E8 であることが知られているが、それが低次元で無限次元 Kac-Moody 群にどのように拡張されるかを理解すること。
• 形式場の双対化を通じて M-理論作用素から純粋スカラーの3次元ラグランジアンを導出し、隠れた代数的構造を明らかにすること。
• 3次元理論における場の内容と相互作用が、E10 および E11 代数の根系とどのように対応するかを特定すること。
• E10 および E11 が単なる数学的珍品ではなく、M-理論の背後にある根本的な対称性であるという証拠を提供すること。

提案手法

• 11次元 M-理論作用素を3次元時空に次元削減し、スカラー場および1形式場のみを保持する。
• Bianchi 恒等式を満たすためにラグランジュ乗数を用い、2形式および1形式ポテンシャルを軸性スカラーに双対化する手続きを適用する。
• スカラー場の運動項と、双対化された形式から導かれる場強度に依存する指数関数的結合項を持つ3次元スカラー拉格ランジアンを構成する。
• 結合係数と場の内容の一致を通じて、得られた拉格ランジアンの構造を E10 および E11 Kac-Moody代数の根系と特定する。
• E10 および E11 代数を3次元理論のグローバル対称性として用い、その根格子がスカラー場の荷重と結合を符号化していることを示す。
• 一般化幾何学および拡張 Kac-Moody代数の表記法を用い、E10 = E8++ および E11 = E8+++ のような、超拡張および非常に拡張されたリーダイニング代数を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元 Kac-Moody代数 E10 および E11 は、M-理論の低エネルギー極限においてどのように対称性として現れるか？
• RQ2 3次元スカラー拉格ランジアンにおける場の内容と相互作用が、E10 や E11 の根系と正確にどのように対応するか？
• RQ3 M-理論における形式場の双対化は、その対称性代数が E10 や E11 である純粋スカラー理論に至らせるか？
• RQ4 E10 および E11 代数が、低次元における M-理論の全 U-duality 対称性をどの程度まで符号化しているか？
• RQ5 E10 および E11 代数は、標準的な compactification パatters を超えて、M-理論の力学をどのように整理するか？

主な発見

• すべての形式場を双対化した3次元有効作用素は、運動項と指数的相互作用項を持つ純粋スカラー拉格ランジアンに簡略化される。
• 3次元スカラー拉格ランジアンの結合構造は、E10 および E11 Kac-Moody代数の根系と正確に一致し、指数因子が代数の根に対応する。
• 双対化された拉格ランジアンにおける場強度 — 例えば $ F^{{ m (1)}}_{i_1ar i_{p-1}} $, $ G^{{ m (1)}ar i_{p-2}} $, $ { ilde{ m G}}_{{ m (1)}i} $, および $ { ilde{ m F}}^i_{{ m (1)}j} $ — はスカラー場の微分から構成され、E10 および E11 の根空間分解と一致する。
• 拉格ランジアンの構造は、グローバルな E10 および E11 対称性に関して不変であり、これら代数が M-理論の隠れた対称性群であることを示唆する。
• 3次元理論における E10 および E11 の対称性代数としての同定は、それらが M-理論の統一的双対性対称性を支配する根本的役割を果たしているという強い証拠を提供する。
• 本論文は、M-理論の場の内容と E10 および E11 の根系との間の直接的なリンクを確立し、E11 が M-理論の最大対称性代数であるという予想を支持する。