[論文レビュー] Kac-Moody and Virasoro algebras

Antony Wassermann|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Goddard–Kent–Olive や Kazama–Suzuki の共役構成にインspiredされ、スパイン系およびディラック作用素の技法を用いて、アフィン Kac–Moody および Virasoro 代数のユニタリ表現理論を展開する。主な結果として、Kac の特徴式、Friedan–Qiu–Shenker のユニタリティ基準、および正エネルギー表現に対する「ノーゴースト」定理を確立する。

ABSTRACT

These are the notes for a Part III course given in the University of Cambridge in autumn 1998. They contain an exposition of the representation theory of the Lie algebras of compact matrix groups, affine Kac-Moody algebras and the Virasoro algebra from a unitary point of view. The treatment uses many of the methods of conformal field theory, in particular the Goddard-Kent-Olive construction and the Kazami-Suzuki supercharge operator, a generalisation of the Dirac operator. The proof of the Weyl character formula is taken from unpublished notes of Peter Goddard. The supersymmetric proof of the Kac character formula for affine Kac-Moody algebras was also found independently at roughly the same time by Greg Landweber in his Harvard Ph.D. dissertation. One of the main novelties of this approach is a very rapid proof of the Feigin-Fuchs character formula for the discrete series representations of the Virasoro algebra. It relies only on the first part of the Friedan-Qiu-Shenker unitarity theorem placing restrictions on the parameter h. Their result, which only uses elementary properties of plane curves, is presented in detail in these notes along with the somewhat harder result for c. A substantially shorter treatment is possible if the final goal is just the Feigin-Fuchs formula, since in that case only the representation theory of affine sl(2) is needed (cf the MSRI summer course given in 2000, http://www.msri.org/publications/ln/msri/2000/opal/wassermann/). The same method has been applied by S. Palcoux to the Neveu-Schwarz algebra and also works for the N=2 superconformal algebra.

研究の動機と目的

• スパイン系を用いてアフィン Kac–Moody および Virasoro 代数のユニタリ表現理論を展開すること。
• ディラック作用素およびインデックス理論を用いて、正エネルギー表現の幾何的・代数的枠組みを提供すること。
• スーパーチャージ作用素およびスペクトル解析を用いて、特徴式およびユニタリティ基準を導出すること。
• アフィン Kac–Moody 代数のユニタリ正エネルギー表現に対する「ノーゴースト」定理を確立すること。
• 量子化およびインデックス理論的手法を通じて、有限次元の Lie 理論と無限次元の conformal field theory を結びつけること。

提案手法

• 有限次元におけるフェルミオンおよびボソンの量子化を用いて、スピン群およびメタプレクティック群を構成する。
• ディラック作用素およびその平方を用いて、Weyl の特徴式および Casimir の固有値を導出する。
• Kazama–Suzuki および Goddard–Kent–Olive の構成におけるスーパーチャージ作用素を用いてユニタリティを解析する。
• Kac の行列式公式およびスペクトル射影技術を用いて、ヴェルマ加群の構造を研究する。
• 二重可換定理およびクリフォード代数の形式的体系を用いて、スピン表現を定義する。
• Sugawara の構成を用いて、$L_0$ を通じて Virasoro 代数をアフィン Kac–Moody 代数に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン Kac–Moody 代数の表現理論を、スパイン系を用いて体系的に展開する方法は何か？
• RQ2 ディラック作用素およびその平方は、特徴式および Casimir の固有値を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Kac の行列式および Friedan–Qiu–Shenker の基準は、Virasoro 代数の表現におけるユニタリティをどのように決定するか？
• RQ4 「ノーゴースト」定理は、どのように正エネルギー表現のユニタリティを保証するか？
• RQ5 行列 $M_N(c,h)$ のスペクトル的性質は、ヴェルマ加群およびその部分加群の構造をどのように決定するか？

主な発見

• Kac の特徴式は、スーパーチャージ作用素およびディラック作用素のスペクトル解析を用いて導出された。
• Friedan–Qiu–Shenker のユニタリティ基準は、中心的荷重 $c$ および最低重量 $h$ の両方に対して確立された。
• 正エネルギー表現に対する「ノーゴースト」定理が証明され、負ノルム状態の不在によりユニタリティが保証された。
• 行列 $M_N(c,h)$ は曲線 $C_{p'q'}$ 上で一様次元の核を持ち、$c=1$ を境にその行列式の符号が反転するため、スペクトル遷移を示している。
• スペクトル射影 $P(z)$ は $C_{p'q'}$ の近傍で連続的かつ適切に定義されており、$P(z)A(z) = A(z)P(z) = \lambda(z)P(z)$ かつ $c<1$ 側で $\lambda(z) < 0$ を満たす。
• スーパーチャージ作用素の平方は非負の作用素であり、その核は多重度空間内の最高重量状態に対応する。