[論文レビュー] Kac-Moody and Virasoro Symmetries of Integrable Hierarchies of KP Type

H. Aratyn, J. F. Gomes+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、制約付きおよび多成分KP階層におけるループ代数およびバーラソロ追加対称性を体系的に発展させ、${\rm cKP}_{R,M}$モデルが$({\hat U}(1)\oplus{\hat {SL}}(M))_{+} \oplus ({\hat {SL}}(M+R))_{-}$対称性代数を持つことを示し、完全なバーラソロ対称性を構築する修正されたオルロフ＝シュルマン手法を構築する。多成分KPは、カルタン部分代数の対称性を有する1成分KPとして特定され、これにより新たなソリトン型解が得られ、デイビー＝スチュアートソンおよび$N$-波系が対称性フローとして導かれる。

ABSTRACT

We propose a systematic treatment of symmetries of KP integrable systems, including constrained (reduced) KP models ${\sl cKP}_{R,M}$, and their multi-component (matrix) generalizations. Any such integrable hierarchy is shown to possess an additional $({\hat U}(1)\oplus{\hat {SL}}(M))_{+} \oplus ({\hat {SL}}(M+R))_{-}$ loop-algebra symmetry. Also we provide a systematic construction of the full algebra of Virasoro additional symmetries in the case of constrained KP models which requires a nontrivial modification of the known Orlov-Schulman construction for the general unconstrained KP hierarchy. Multi-component KP hierarchies are identified as ordinary (scalar) one-component KP hierarchies supplemented with the Cartan subalgebra of the additional symmetry algebra, which provides the basis of a new method for construction of soliton-like solutions. Davey-Stewartson and $N$-wave resonant systems arise as symmetry flows of ordinary ${\sl cKP}_{R,M}$ hierarchies.

研究の動機と目的

• 制約付きおよび多成分KP可積分階層の追加対称性を体系的に分類および構成すること。
• 既知のオルロフ＝シュルマンによるバーラソロ対称性の構成を制約付きKPモデルに拡張し、非自明な修正を要すること。
• 多成分KP階層を、追加対称性代数のカルタン部分代数の付加によって拡張された1成分KP階層として特定すること。
• デイビー＝スチュアートソンおよび$N$-波共鳴系が${\rm cKP}_{R,M}$階層の対称性フローとして出現することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、ループ代数の技法を用いて、${\rm cKP}_{R,M}$モデルの対称性代数$({\hat U}(1)\oplus{\hat {SL}}(M))_{+} \oplus ({\hat {SL}}(M+R))_{-}$を同定する。
• オルロフ＝シュルマンの構成を一般化し、制約付きKP階層における完全なバーラソロ代数の追加対称性を導出する。
• このアプローチは、多成分KP階層を、追加対称性代数のカルタン部分代数を追加した1成分KP階層として扱う。
• 対称性フローを用いて、${\rm cKP}_{R,M}$階層からデイビー＝スチュアートソンや$N$-波共鳴系といった可積分系を生成する。
• フレームワークはKP階層およびその還元の構造に依拠し、特にループ代数および追加対称性の役割に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付きKP階層${\rm cKP}_{R,M}$の追加対称性代数の完全な構造は何か？
• RQ2 オルロフ＝シュルマンの構成は、どのようにして制約付きKPモデルにおける完全なバーラソロ代数を導出できるか？
• RQ3 多成分KP階層は、追加対称性代数の拡張を通じて1成分KP階層とどのように関係するか？
• RQ4 ${\rm cKP}_{R,M}$階層の対称性フローとして出現する既知の可積分系（例えばデイビー＝スチュアートソン系や$N$-波系）は何か？

主な発見

• 制約付きKP階層${\rm cKP}_{R,M}$は、$({\hat U}(1)\oplus{\hat {SL}}(M))_{+} \oplus ({\hat {SL}}(M+R))_{-}$に同型な追加対称性代数を有する。
• 修正されたオルロフ＝シュルマンの構成により、制約付きKPモデルにおける完全なバーラソロ代数の追加対称性が可能となり、標準的手法が拡張される。
• 多成分KP階層は、追加対称性代数のカルタン部分代数を追加した1成分KP階層に等価であることが示された。
• このカルタン部分代数の拡張により、多成分KP系におけるソリトン型解を構築する新しい手法が得られる。
• デイビー＝スチュアートソンおよび$N$-波共鳴系は、${\rm cKP}_{R,M}$階層の対称性フローとして導出され、この枠組みを通じて可積分性が確立される。