[論文レビュー] Kadanoff-Baym equations for near-Kolmogorov turbulence

Esteban Calzetta|ArXiv.org|Aug 27, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2粒子非可縮（2PI）シュヴィンガー＝ケルディッシュ効果的作用素を用いて、近似的にコルモゴロフ乱流に近い系のカダノフ＝ベーム方程式を定式化し、非圧縮性かつ一様な乱流流れにおける速度および圧力相関の整合的な動的枠組みを導出する。主な結果は、慣性域におけるコルモゴロフスケーリングへの到達を記述する輸送方程式の導出であり、形式的枠組みからコルモゴロフの4/5の法則が明示的に検証されている。

ABSTRACT

We use the 2 particle irreducible Schwinger-Keldysh effective action to set up consistent equations for the velocity and pressure correlations of a turbulent flow. We use these equations to derive the Kadanoff-Baym equations describing the relaxation to Kolmogorov turbulence in the absence of mean velocities.

研究の動機と目的

• 2PIシュヴィンガー＝ケルディッシュ効果的作用素を用いた場の理論的枠組みを、乱流に適用するための整合的フレームワークを構築すること。
• 非圧縮性かつ一様な乱流流れにおける速度および圧力相関の動的方程式を導出すること。
• 慣性域におけるコルモゴロフスケーリングへの流れの緩和ダイナミクスを記述すること。
• 2PI CTP形式的枠組み内でコルモゴロフの4/5の法則が、エネルギースペクトルに関する事前の仮定なしに導出可能かどうかを検証すること。

提案手法

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に確率的駆動を加えた系について、2PI閉時経路（CTP）効果的作用素を定式化する。
• 速度場および圧力場の2点相関関数に対するシュヴィンガー＝ダイソン方程式を導出する。
• 平均流れが存在しない状況下での物理的整合性を保証するため、自己エネルギーに確率的ゲージ不変性（RGI）を課す。
• 運動方程式にフーリエ変換を適用し、慣性域におけるダイナミクスを分析する。
• 和則および等方性制約を用いて、3点相関関数の構造を決定する。
• 形式的枠組みから3次速度構造関数を計算することで、コルモゴロフの4/5の法則を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分的2PI効果的作用素形式を用いて、乱流流れに対してカダノフ＝ベーム方程式を一貫して導出する方法は何か？
• RQ2 平均流れが存在しない状況下で、自己エネルギーの物理的整合性を保証するための確率的ゲージ不変性の役割は何か？
• RQ3 この形式的枠組みは、ほぼ一様な流れがコルモゴロフスケーリングへの緩和をどのように記述するか？
• RQ4 エネルギースペクトルに関する事前の仮定なしに、2PI CTP効果的作用素形式からコルモゴロフの4/5の法則を導出可能か？
• RQ5 慣性域における3点相関関数の構造は何か？また、エネルギーフラックスとはどのように関係するか？

主な発見

• 慣性域における3点相関関数は、係数 $ A = \frac{1}{2}(2\pi)^d \epsilon \delta(\mathbf{k}) $ を持つ $ \frac{1}{k^2} (\Delta^{rt} k^s + \Delta^{st} k^r) $ に比例することが示され、エネルギーフラックス保存と整合的である。
• 2PI CTP形式的枠組みからコルモゴロフの4/5の法則が導出され、3次構造関数は $ \langle (\mathbf{x} \cdot [\mathbf{u}(\mathbf{x}) - \mathbf{u}(0)])^3 \rangle = -\frac{4}{5} \epsilon r^4 $ を与える。
• 2点相関関数は $ F_1 = -\frac{1}{12} \epsilon r^2 $ を満たし、これは2次構造関数の期待される $ r^2 $ スケーリングと整合的である。
• 形式的枠組みは、便宜的な仮定なしにカーマン＝ハウスレー方程式およびコルモゴロフの4/5の法則を再現し、その整合性を裏付けた。
• 和則 $ i\int d\omega \, \omega \, G^{r+,t+} = 0 $ を用いて、裸の駆動および粘性項が慣性域では無視可能であることを示し、3点関数の運動量空間積分が消えることを導いた。
• 導出結果から、エネルギーフラックス $ \epsilon $ が3点関数の $ \delta(\mathbf{k}) $ 特異性に符号化されていることが確認され、形式的枠組みが物理的エネルギー散乱率と直接的に関連していることが示された。