[論文レビュー] Kadec norms on spaces of continuous functions

Max Burke, Wiesław Kubiś+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2003

Advanced Banach Space Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続関数のバナッハ空間 $C(K)$ に対して点ewise Kadec 無限大の存在を確立し、$K$ がコンパクトな線形順序空間の積である場合にそのような無限大が存在することを証明している。さらに、$C(K_1)$ が点wise Kadec 無限大を有し、$K_2$ が順序型の再帰的縮約の逆極限に関して閉じたクラスに属する場合、$K_1 \times K_2$ の積に対しても同様の結果を拡張している。また、Kadec 性質に関する三空間性質を証明し、[LZ] における疑問を解決している。

ABSTRACT

We study the existence of pointwise Kadec renormings for Banach spaces of the form $C(K)$. We show in particular that such a renorming exists when $K$ is any product of compact linearly ordered spaces, extending the result for a single factor due to Haydon, Jayne, Namioka and Rogers. We show that if $C(K_1)$ has a pointwise Kadec renorming and $K_2$ belongs to the class of spaces obtained by closing the class of compact metrizable spaces under inverse limits of transfinite continuous sequences of retractions, then $C(K_1 imes K_2)$ has a pointwise Kadec renorming. We also prove a version of the three-space property for such renormings.

研究の動機と目的

• コンパクト空間 $K$ に対して $C(K)$ 上の点wise Kadec 無限大の存在を調査すること。
• 単一のコンパクトな線形順序空間から得られる既知の Kadec 無限大の結果を、それらの任意の積へと拡張すること。
• $C(K_1)$ が点wise Kadec 無限大を有する場合に $C(K_1 \times K_2)$ が点wise Kadec 無限大を有するための条件を確立すること。
• $C(K_1)$ が点wise Kadec 無限大を有する場合に $C(K_1 \times K_2)$ が点wise Kadec 無限大を有するための条件を確立すること。
• Kadec-Klee 条件をより弱い Kadec 条件に置き換えることで、[LZ] の問題を解決する三空間性質を証明すること。
• 積空間および双対空間におけるノルム-SLD と点wise Kadec 無限大の関係を明確にすること。

提案手法

• 点wise 無限大の性質を、局所ノルム直径が小さい凸集合による可算被覆を用いた特徴づけを用いる。
• 順序型の再帰的縮約の逆極限を用いて、$C(K_1 \times K_2)$ が点wise Kadec 無限大を有するようなコンパクト空間 $K_2$ のクラスを構成・分析する。
• $\tau_p$-lsc LUR ノルムの概念とその点wise 位相との整合性を用いて、部分空間からノルムを拡張する。
• 商写像の $({\tau},{\tau}')$-連続性と LUR 性質を用いて、ノルム位相における射影の収束を証明する。
• 三空間性質の枠組みを用いて、$C_0(X)$ が $\tau_p$-Kadec 無限大を有し、$C(K\setminus X)$ が $\tau_p$-lsc LUR 無限大を有するならば、$C(K)$ が $\tau_p$-Kadec 無限大を有することを示す。
• $\tau_p$-Kadec ノルムの存在と、単位球面上の凸集合と $\tau_p$-開集合の交わりがノルム位相のネットワークをなすような可算被覆の存在が同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K$ がコンパクトな線形順序空間の積である場合、$C(K)$ は $\tau_p$-Kadec 無限大を有するか？
• RQ2 $C(K_1)$ が $\tau_p$-Kadec 無限大を有する場合、$K_1$ と $K_2$ にどのような条件を課すと $C(K_1 \times K_2)$ が $\tau_p$-Kadec 無限大を有するようになるか？
• RQ3 $\tau_p$-Kadec 無限大の存在は三空間性質を満たすか？ また、このような結果において Kadec-Klee 条件を Kadec 条件に弱めることが可能か？
• RQ4 積空間における $\tau_p$-Kadec 無限大にノルム-SLD 性質を拡張できるか？
• RQ5 $\tau_p$-lsc LUR ノルムは、部分空間からより大きな関数空間へノルムを拡張する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のコンパクトな線形順序空間の積 $K$ に対して、$C(K)$ は $\tau_p$-Kadec 無限大を有する。これは、Haydon, Jayne, Namioka, Rogers の結果を可算積に限らず拡張するものである。
• $C(K_1)$ が $\tau_p$-Kadec 無限大を有し、$K_2$ がコンパクトな距離化可能空間を順序型の連続な再帰的縮約の逆極限に関して閉じたクラスに属する場合、$C(K_1 \times K_2)$ は $\tau_p$-Kadec 無限大を有する。
• Kadec 性質に関する三空間性質が成り立つ：$Y \subseteq X$ を部分空間とし、$Y$ が $\tau_p$-Kadec 性質を有し、$X/Y$ が LUR 無限大を有するならば、$X$ は $\tau_p$-Kadec 性質を有する。
• $C_0(X)$ が $\tau_p$-Kadec 無限大を有し、$C(K\setminus X)$ が $\tau_p$-lsc LUR 無限大を有するならば、$C(K)$ は $\tau_p$-Kadec 無限大を有する。
• 本稿は [LZ] における未解決問題を解決し、三空間性質における Kadec-Klee 条件をより弱い Kadec 条件に置き換えることができることを示した。
• 著者らは、$\tau_p$-Kadec 無限大の存在が、単位球面を凸集合の可算被覆で被覆し、その各集合と $\tau_p$-開集合の交わりがノルム位相のネットワークをなすような条件と同値であることを確立した。