[論文レビュー] Kaehler-Einstein metrics on orbifolds and Einstein metrics on spheres

Alessandro Ghigi, Janós Kollár|ArXiv.org|Jul 14, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ガロア被覆を用いたケーラー・アインシュタイン計量の構成法を、自明なガロア群をもつ軌道多様体へ一般化し、奇数次元球面に新たなアインシュタイン計量および $A_1$ や $A_2$ 特異点をもつ2次デル・ペッツォ表面にケーラー・アインシュタイン計量を構成する。主な進展は、先行研究に比べて存在限界を $n$ 倍改善したことにより、$S^9$ に $10^6$ 個を超える新たなアインシュタイン計量が得られたことである。

ABSTRACT

A construction of Kaehler-Einstein metrics using Galois coverings, studied by Arezzo-Ghigi-Pirola, is generalized to orbifolds. By applying it to certain orbifold covers of P^n which are trivial set theoretically, one obtains new Einstein metrics on odd-dimensional spheres. The method also gives Kaehler-Einstein metrics on degree 2 Del Pezzo surfaces with A_1 or A_2-singularities.

研究の動機と目的

• ガロア被覆を用いた多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の構成法（Arezzo-Ghigi-Pirola の方法）を、自明なガロア群をもつ軌道多様体へ一般化すること。
• この一般化された手法を、集合的に自明だが軌道多様体の意味で非自明な恒等写像 $\pi: (\mathbb{P}^n, \Delta) \to \mathbb{P}^n$ に適用し、ケーラー・アインシュタイン計量の新たな構成を可能にすること。
• 小林の上昇定理を活用して、$\mathbb{Q}$-因子をもつ $\mathbb{P}^n$ 上の軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量から、奇数次元球面上の新たなアインシュタイン計量を導出すること。
• $\mathbb{P}^n$ 上に $n+2$ 個の超平面と $\mathbb{Q}$-因子をもつ軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量の存在限界を改善し、Boyer-Galicki-Kollár の結果に比べて $n$ 倍の改善を達成すること。
• 同じ手法を用いて、$A_1$ や $A_2$ 特異点をもつ2次デル・ペッツォ表面に新たなケーラー・アインシュタイン計量の例を構成すること。

提案手法

• 多様体から軌道多様体へガロア被覆法を一般化し、集合的に自明だが軌道多様体として非自明な恒等写像 $\pi: (\mathbb{P}^n, \Delta) \to \mathbb{P}^n$ に注目する。
• $D_i$ を $\mathbb{P}^n$ 内の一般位置にある超平面とするとき、$\mathbb{Q}$-因子 $\Delta = \sum_{i=0}^{n+1} (1 - \frac{1}{m_i}) D_i$ によって定まる軌道多様体構造を用いる。
• 存在基準として、$1 < \sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{m_i} < 1 + (n+1) \min_i \frac{1}{m_i}$ という条件を適用し、Boyer-Galicki-Kollár の結果に比べて $n$ 倍の改善を達成する。
• 写像 $z_i \mapsto x_i = z_i^{m_i}$ を通じて、重み付き射影空間 $\mathbb{P}(w_0, \dots, w_{n+1})$ と $\mathbb{P}^{n+1}$ の同型を用い、軌道多様体 $(X, \Delta_X)$ を $(\mathbb{P}^n, \Delta)$ に同一視する。
• 小林の上昇定理を用いて、$(\mathbb{P}^n, \Delta)$ 上の軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量を、$\mathbb{C}^{n+2}$ 内のリンク $L(m_0, \dots, m_{n+1}) \subset \mathbb{C}^{n+2}$ に上昇させ、これは $S^{2n+1}$ と微分同相であることを用いる。
• 2次デル・ペッツォ表面に $A_{n-1}$ 特異点をもつ場合に、四次曲線を分岐曲線とする二重被覆 $\pi: S \to \mathbb{P}^2$ を分析し、$\lambda \leq \frac{1}{2}$ のとき $\eta^{-\lambda}$ の積分可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Arezzo-Ghigi-Pirola のガロア被覆を用いたケーラー・アインシュタイン計量の構成法は、自明なガロア群をもつ軌道多様体へ拡張可能か？
• RQ2 改善された限界 $1 < \sum \frac{1}{m_i} < 1 + (n+1) \min \frac{1}{m_i}$ は、$n+2$ 個の超平面をもつ $(\mathbb{P}^n, \sum (1 - \frac{1}{m_i}) D_i)$ 上にケーラー・アインシュタイン計量の存在を保証するか？
• RQ3 得られた軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量は、リンク構成を用いて $S^{2n+1}$ 上のアインシュタイン計量に上昇可能か？
• RQ4 改善された限界は、Boyer-Galicki-Kollár の結果を越えて、奇数次元球面上に新たなアインシュタイン計量の例をもたらすか？
• RQ5 この手法は、$A_1$ や $A_2$ 特異点をもつ特異デル・ペッツォ表面、特に2次表面にケーラー・アインシュタイン計量を構成するために適用可能か？

主な発見

• 本稿は、$ (\mathbb{P}^n, \sum_{i=0}^{n+1} (1 - \frac{1}{m_i}) D_i) $ 上の軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量の存在基準を新たに確立し、$1 < \sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{m_i} < 1 + (n+1) \min_i \frac{1}{m_i}$ を要請する。これは、Boyer-Galicki-Kollár の結果に比べて $n$ 倍の改善を達成する。
• 特に $m_0=2, m_1=3, m_2=5$, および $m_3 \in \{17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59\}$ の場合、$S^5$ 上に12個の新たなアインシュタイン計量が得られる。
• この手法により、$S^7$ 上に少なくとも $10^3$ 個、$S^9$ 上に $10^6$ 個、さらに高次元の奇数次元球面に対しても同様の数が得られる。
• この構成法は、$A_1$ や $A_2$ 特異点をもつ2次デル・ペッツォ表面に適用可能であり、$\lambda \leq \frac{1}{2}$ のとき $\eta^{-\lambda}$ の積分可能性を検証することで、軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量の存在を証明する。
• 以前 Mabuchi や Mukai が示した対角的四次デル・ペッツォ表面（2次）の軌道多様体ケーラー・アインシュタイン計量の存在は、本稿の手法により新たな証明が与えられ、軌道多様体ケーラー・アインシュタイン基準を用いることで再確認される。
• Brieskorn–Pham 特異点のリンクと $S^{2n+1}$ の同型性に加え、軌道多様体計量を組み合わせることで、球面上のアインシュタイン計量は $m_i$ の値によって定まるが、$n$ が奇数で、特異な複素接触構造をもつ稀な場合を除き、等長同型を除いて一意に定まる。