[論文レビュー] Kaehler spaces, nilpotent orbits, and singular reduction

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Apr 23, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノンアーベル的軌道、特異的シンプレクティック減少、およびポisson幾何における複素解析的構造を統一する枠組みとして、階層的ケーラー空間を導入する。実半単純リー代数のヘルミート型における正規化された全ホロモーフィックノンアーベル的軌道の閉包が正の正規ケーラー構造を有することを確立し、正のケーラー多様体のシンプレクティック減少が、極化関数と正則関数が一致する階層的ケーラー空間を生成することを示した。これにより、不変量理論、ジョルダン三重系、およびヤン・ミルズ接続のモジュライ空間が結びつけられる。

ABSTRACT

For a stratified symplectic space, a suitable concept of stratified Kaehler polarization, defined in terms of an appropriate Lie-Rinehart algebra, encapsulates Kaehler polarizations on the strata and the behaviour of the polarizations across the strata and leads to the notion of stratified Kaehler space. This notion establishes an intimate relationship between nilpotent orbits, singular reduction, invariant theory, reductive dual pairs, Jordan triple systems, symmetric domains, and pre-homogeneous spaces; in particular, in the world of singular Poisson geometry, the closures of principal holomorphic nilpotent orbits, positive definite hermitian JTS's, and certain pre-homogeneous spaces appear as different incarnations of the same structure. The space of representations of the fundamental group of a closed surface in a compact Lie group inherits a (positive) normal (stratified) Kaehler structure, as does the closure of a holomorphic nilpotent orbit in a semisimple Lie algebra of hermitian type. The closure of the principal holomorphic nilpotent orbit arises from a regular semisimple holomorphic orbit by contraction. Symplectic reduction carries a (positive) Kaehler manifold to a (positive) normal Kaehler space in such a way that the sheaf of germs of polarized functions thereupon coincides with the ordinary sheaf of germs of holomorphic functions. Symplectic reduction establishes a close relationship between singular reduced spaces and nilpotent orbits of the dual groups. Projectivization of holomorphic nilpotent orbits yields exotic stratified Kaehler structures on complex projective spaces and on certain complex projective varieties including complex projective quadrics. Physical examples are provided by certain reduced spaces arising from angular momentum zero.

研究の動機と目的

• 特異的減少空間が非滑らかである場合の、特異的シンプレクティック減少の幾何的枠組みを構築すること。
• シンプレクティック減少によって生じる特異空間における、複素解析的構造とポアソン構造の相関関係を理解すること。
• 正則的ノンアーベル的軌道、準同型空間、および中心ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間との間の対応関係を確立すること。
• 標準的幾何的量子化が失敗する特異的状況におけるケーラー極化の役割を明確にすること。
• シンプレクティック減少が特異的状況においてもケーラー構造を保存し、正則関数が良好に振る舞う階層的ケーラー空間をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 特異的空間へのケーラー多様体の一般化として、階層的ケーラー空間の概念を導入し、各階層におけるシンプレクティック構造、複素構造、ケーラー構造を統合する。
• ヘルミート型の実半単純リー代数におけるホロモーフィックノンアーベル的軌道を、H-要素とカルタン分解のp成分への複素構造を用いて定義する。
• コンパクト群作用による正のケーラー多様体のシンプレクティック減少を用いて階層的ケーラー空間を構成し、極化関数の層が正則関数の層と一致することを示す。
• 主なホロモーフィックノンアーベル的軌道の閉包を、正規複素解析的空間として、半単純ホロモーフィック軌道の収縮によって得られる正のケーラー構造として分析する。
• 閉じた曲面上の主バンドルにおける中心ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間、およびコンパクトリー群への基本群の表現のモジュライ空間が、階層的ケーラー構造を誘導することを確立する。
• リー代数からp成分への射影を用いて、埋め込みによるシンプレクティック構造（gに埋め込まれたもの）と複素構造（pに埋め込まれたもの）を関連付け、階層的ケーラー空間の局所的モデルを形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実半単純リー代数のヘルミート型におけるホロモーフィックノンアーベル的軌道の閉包に、一貫的に階層的ケーラー構造を定義できるか？
• RQ2 正のケーラー多様体のシンプレクティック減少は、極化関数の層が正則関数の層と一致する階層的ケーラー空間を生成するか？
• RQ3 曲面上の中心ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間は、自然に正の正規階層的ケーラー構造を備えているか？
• RQ4 例えば、特異的軌跡が二次曲面である複素射影空間のような、特異的階層的ケーラー空間において、局所的ケーラー潜在関数を構成できるか？
• RQ5 シンプレクティック減少によって得られる階層的ケーラー空間において、連続関数のポアソン括弧は各階層で滑らかであり、かつ階層間でも連続であるか？

主な発見

• 実半単純リー代数のヘルミート型におけるホロモーフィックノンアーベル的軌道の閉包は、正の正規ケーラー構造を有する。
• コンパクト群作用による正のケーラー多様体のシンプレクティック減少は、極化関数の芽の層が正則関数の芽の層と一致する階層的ケーラー空間を生成する。
• 閉じた曲面上の主バンドルにおける中心ヤン・ミルズ接続のモジュライ空間は、正の正規（階層的）ケーラー構造を誘導する。
• ホロモーフィックノンアーベル的軌道の射影化は、複素射影空間および特定の複素射影的多様体（特に二次曲面を含む）に、特異的（正の）階層的ケーラー構造をもたらす。
• 主なホロモーフィックノンアーベル的軌道の閉包は、半単純ホロモーフィック軌道の収縮によって得られ、これにより軌道幾何と表現論が結びつく。
• q ≥ 5の場合、特異的軌跡が二次曲面である特異的複素射影空間は、階層的ケーラー構造を定義する局所的ケーラー潜在関数を有しない可能性があり、非再帰的状況におけるこのような潜在関数の存在に対する反例を示唆する。