[論文レビュー] Kakutani type Borsuk-Ulam theorem

Oleg R. Musin|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自由な自己同型を備えたコンパクトなPL多様体に対するKakutani型の不動点定理を確立し、Borsuk–Ulam定理を集合値写像へと拡張する。この定理は、このような多様体上の集合値関数が閉じたグラフ、凸値、および反対称性の条件を満たす場合、その関数の像に原点が含まれる点が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper we present a Kakutani type theorem that is equivalent to the Borsuk--Ulam theorem for manifolds.

研究の動機と目的

• 自由な自己同型を備えたコンパクトなPL多様体上の集合値写像へとBorsuk–Ulam定理を拡張すること。
• 反対称性および閉じたグラフ条件を満たす集合値関数に対する不動点型結果を確立すること。
• 対称性および凸性の制約下で、集合値関数の像に原点が含まれる点の存在を特徴づけること。
• BUT（Borsuk–Ulam型）多様体の設定へとKakutani不動点定理を一般化すること。
• 原点が対称的多様体上の集合値関数の像に含まれることを保証する位相的条件を提供すること。

提案手法

• BUT（Borsuk–Ulam型）多様体を、自由な単体的自己同型AをもつコンパクトなPL多様体Mとして定義する。ここで、任意の連続写像f:M→R^dがf(A(x)) = -f(x)を満たすならば、fはゼロ点を持つ。
• 多様体Mの反対称な三角形分割{T_i}の列を構成し、メッシュサイズ|T_i| → 0とする。
• 頂点xとA(x)に対応する点に、それぞれy ∈ F(x)および-y ∈ F(A(x))の値を割り当てることで、折れ線的反対称写像f_i:M→R^dを定義する。
• MのBUT性質により、各f_iがゼロ点を持つことが保証される。すなわち、あるx_i ∈ Mに対してf_i(x_i) = 0となる。
• Mのコンパクト性を用いて、x_i、y_k^i、重心座標t_k^iの収束部分列を抽出する。
• Fの閉じたグラフ性とF(x)の凸性を用いて、極限点x_0が0 ∈ F(x_0)を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BUT多様体上の集合値関数が、その像に原点を含む点をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 Kakutani不動点定理は、自由な自己同型と反対称性をもつ多様体へとどのように一般化できるか？
• RQ3 どのような位相的条件が、多様体上の対称的集合値写像がxとA(x)の像に共通の交点を持つことを保証するか？
• RQ4 凸値および対称的値をもつ集合値写像へとBorsuk–Ulam定理を拡張できるか？
• RQ5 閉じたグラフ性は、集合値写像に対して対称的ゼロ点の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の自由な自己同型AをもつコンパクトなPL BUT多様体Mに対し、F:M→2^{R^d}が閉じたグラフかつ空でない凸値をもち、かつy∈F(x) ⇒ -y∈F(A(x))を満たすならば、あるx_0∈Mが存在して0∈F(x_0)となる。
• 多様体MのBUT性質により、折れ線的反対称近似f_iがゼロ点をもつことが保証される。
• f_iのゼロ点x_iの列の極限は、x_iを含む単体の頂点の像の凸包に原点が含まれる点x_0に収束する。
• 閉じたグラフ条件により、f_i(v_k^i)の極限点y_kはF(x_0)に属し、F(x_0)が凸であることから0∈F(x_0)となる。
• ミンコフスキー差分構成により、f(A(x)) = -f(x)を満たす写像が得られ、これにより主定理への還元が可能となり、補題1が証明される。
• 補題1は、このようなFに対して、F(x_0)とF(A(x_0))が非空に交わることを示している。これは、ミンコフスキー差分の対称的構造に起因する。