[論文レビュー] KAM for quasi-linear autonomous NLS

Roberto Feola, Michela Procesi|arXiv (Cornell University)|May 20, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可逆性、ゲージ不変性、および $x$-不変な非線形性を有する完全非線形シュレーディンガー方程式のクラスに対して、解析的で小振幅の準周期的解からなるカンター族の存在および安定性を確立する。著者らは、準線形PDEに特化した新しいKAM反復枠組みを用い、正規形還元、作用角変数、および精密な測度推定を組み合わせることで、小分母問題と無限大の摂動を克服し、導関数を含む非線形性を有する完全非線形PDEに対する解析的準周期的解の存在を初めて証明する。

ABSTRACT

We consider a class of fully nonlinear Schrödinger equations and we prove the existence and the stability of Cantor families of quasi-periodic, small amplitude solutions. We deal with reversible autonomous nonlinearities and we look for analytic solutions. Note that this is the first result on analytic quasi-periodic solutions for fully nonlinear PDEs.

研究の動機と目的

• 可逆性、ゲージ保存性、$x$-不変な非線形性を有する完全非線形シュレーディンガー方程式のクラスに対して、カンター族の準周期的解の存在を証明すること。
• 標準的なKAM変換が有界でない場合に、導関数を含む非線形性を有する準線形PDEへのKAM理論の拡張を行うこと。
• パrameter集合上の測度推定を用いてこれらの解の安定性を確立し、解族が正の相対測度を持つことを保証すること。
• 正規形、作用角変数、擬微分作用素を組み合わせた関数解析的枠組みを構築し、系の無限次元的ダイナミクスを扱うこと。
• 導関数非線形性を有する状況下で、小分母問題を、正則性と解析性の損失を制御するKAM反復の構成によって解決すること。

提案手法

• ハミルトニアン構造を単純化し、主要な非線形項を分離するために、弱いバーキョフ正規形還元を用いる。
• 線形化作用素を対角化し、小分母方程式に帰着させるために、作用角変数を導入する。
• ベクトル場における非線形性を扱える新しい抽象的KAM定理を定式化し、正則性の損失と有界性条件を組み込む。
• 線形化作用素を近似的に対角化する変数変換の反復を用い、摂動項の大きさに対する推定を実行する。
• ねじれ条件と陰関数定理を用いて測度推定を導出し、カンター型パrameter集合が正の測度を持つことを保証する。
• Sobolev空間のスケールと、複素ストリップ上の解析関数を用い、反復全体にわたり解析性半径を精密に制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導関数依存非線形性を有する完全非線形シュレーディンガー方程式に対して、準周期的解が存在しうるか？
• RQ2 非線形性に導関数を含み、かつKAM変換が有界でない準線形PDEにKAM理論を適用することは可能か？
• RQ3 小分母と正則性の損失の存在下で、KAM反復の収束を保証する条件は何か？
• RQ4 このような系に対して、パrameter空間上で正の測度を持つカンター族の解をどのように構成できるか？
• RQ5 可逆性とゲージ不変性は、これらの解の存在および安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、可逆性、ゲージ保存性、$x$-不変な非線形性を有する完全非線形シュレーディンガー方程式に対して、小振幅の準周期的解からなるカンター族の存在を証明する。
• 解は空間および時間に関して解析的であり、解族は正の相対測度を持つパrameter集合上に存在する。
• パrameter空間におけるカンター集合 $\mathcal{C}_{\varepsilon}$ の補集合の測度は $C\varepsilon^{2d}\bm{c}$ で有界であり、$\bm{c}$ が小さいとき正の測度を持つことが保証される。
• 正則性の損失を制御し、解析性を維持するようにKAM反復が構成され、解析性半径は0から離れていることが保証される。
• 導関数非線形性を有する完全非線形PDEに対する解析的準周期的解の存在を初めて確立する結果である。
• 洗練された正規形と擬微分作用素技術を用いることで、KAM変換の無限大性に対しても効果的に対処できた。