[論文レビュー] Kaplansky's Construction Type and Classification of Weak bialgebras and Weak Hopf algebras

Zoheir Chebel, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正則な代数や双代数から弱双代数および弱ホプフ代数を生成するためのカプランスキー型の構成法を導入し、2次元および3次元の弱双代数および弱ホプフ代数を同型を除いて分類する。一般線形群の作用におけるその安定化部分群を同定し、同型類ごとに異なる自己同型群（位数2および6の群、複素パラメータでパrameter化された族を含む）を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper, we study weak bialgebras and weak Hopf algebras. These algebras form a class wider than bialgebras respectively Hopf algebras. The main results of this paper are Kaplansky's constructions type which lead to weak bialgebras or weak Hopf algebras starting from a regular algebra or a bialgebra. Also we provide a classification of 2-dimensional and 3-dimensional weak bialgebras and weak Hopf algebras. We determine then the stabilizer group and the representative of these classes, the action being that of the linear group.

研究の動機と目的

• 双代数のカプランスキーの構成法を弱双代数および弱ホプフ代数へと拡張すること。
• 次元2および3の有限次元弱双代数および弱ホプフ代数のすべての同型類を分類すること。
• 一般線形群の作用におけるこれらの代数の安定化部分群を計算すること。
• 弱双代数および弱ホプフ代数の集合が、一般線形群の作用によるファイブレーションを持つ代数的集合であることを確立し、軌道が同型類に対応することを示すこと。

提案手法

• 任意の代数や双代数から弱双代数および弱ホプフ代数を生成するため、カプランスキーの構成技術を適応する。
• スウィーダーの記法を用いて余乗法を記述し、3つの主要な恒等式（余乗法が代数準同型であること、弱単位元の保存、弱余単位元の乗法的性質）を用いて整合性条件を定義する。
• 一般線形群 GL(V) の弱双代数構造の空間への作用を適用し、軌道を用いて同型類を定義する。
• 構造定数と線形変換行列を用いて、2つの弱双代数の同型を示す明示的な行列条件（式4.1–4.3）を導出する。
• 基底に依存する仮定の下で、2次元および3次元代数のケースバイケース分類を、方程式系の解法により行う。
• 恒等変換を用いた同型条件の解法により、自己同型群を計算し、代数的構造に応じて離散的および連続的群が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カプランスキーの構成法は、正則な代数や双代数から弱双代数および弱ホプフ代数を生成するためにどのように一般化できるか？
• RQ2 代数的閉体（標数0）上での2次元および3次元弱双代数および弱ホプフ代数の完全な同型類は何か？
• RQ3 一般線形群 GL(V) の作用におけるこれらの代数の安定化部分群は何か？
• RQ4 低次元における異なる同型類において、弱双代数および弱ホプフ代数の自己同型群はどのように変化するか？
• RQ5 弱双代数および弱ホプフ代数の空間は、GL(V)-軌道によるファイブレーションを持つ代数的集合として記述可能か？

主な発見

• 3次元弱双代数には正確に11個の同型類があり、そのうち10個は自己同型群の位数が6であり、1つ（クラス18）は複素パラメータでパラメータ化された連続的自己同型群を持つ。
• 2次元弱双代数の自己同型群は位数2であり、行列 (1,1; 0,-1) によって生成される。
• 3次元弱双代数のクラス(1)〜(11)は、2つの特定の3×3行列によって生成される対称群 S3 に同型な自己同型群を持つ。
• クラス(18)は、複素パラメータ r と e を含む1パラメータ族の行列に同型な自己同型群を持ち、4e - r² ≠ 0 を満たす。
• クラス(20)は、r と e をパラメータとする1パラメータ族の自己同型群を持ち、4e + r² ≠ 0 を満たす。
• すべての3次元弱ホプフ代数は、自己同型群の位数が6であり、S3 に同型であり、弱双代数のクラス(1)〜(11)の群構造と一致する。