[論文レビュー] Kato's Inequality for Magnetic Relativistic Schrödinger Operators

Fumio Hiroshima, Takashi Ichinose+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ L^2_{\text{loc}} $ ベクトルポテンシャル $ A(x) $ を持つ磁気相対論的シュレーディンガー作用素 $ H_{A,m} = \big( (-i\nabla - A(x))^2 + m^2 \big)^{1/2} $ に対してカトウの不等式を確立する。作用素論的アプローチとカトウの元々の証明の修正を用いて、分布的不等式 $ \operatorname{Re}[(\operatorname{sgn} u) H_{A,m}u] \geq H_{0,m}|u| $ を証明し、これは相反不等式と $ V \in L^2_{\text{loc}} $ で非負であるような $ H_{A,m} + V $ の本質的自己共共役性を示す。

ABSTRACT

Kato's inequality is shown for the magnetic relativistic Schrödinger operator $H_{A,m}$ defined as the operator theoretical {\it square root} of the selfadjoint, magnetic nonrelativistic Schrödinger operator $(-i abla-A(x))^2+m^2$ with an $L^{2}_{ ext{ m loc}}$ vector potential $A(x)$.

研究の動機と目的

• 磁気相対論的シュレーディンガー作用素 $ H_{A,m} $ に対してカトウの不等式を確立すること。ここで $ H_{A,m} $ は、自己共役な非相対論的磁気ハミルトニアンの作用素論的平方根として定義される。
• カトウの古典的不等式を、$ H_{A,m} $ が微分作用素でも擬微分作用素でもない非局所的で相対論的な設定に拡張すること。
• 半群 $ e^{-t(H_{A,m}-m)} $ に対する相反不等式を証明し、行列要素の絶対値が自由系の場合に支配されることを示すこと。
• ベクトルポテンシャル $ A $ に対して最小限の正則性仮定のもとで、$ C_0^\frown({\mathbb{R}}^d) $ 上で $ H_{A,m} + V $ の本質的自己共役性を確立すること。ここで $ V \in L^2_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d) $ で $ V \geq 0 $ 几乎 everywhere である。
• 弱解に正則性が欠けるという問題を克服するため、擬微分計算に依存しない、新しい作用素論的アプローチを開発すること。

提案手法

• 非相対論的磁気シュレーディンガー作用素に対するカトウの元々の証明戦略を、$ H_{A,m} $ の非局所的性質に対応させるように修正すること。
• 作用素論的定義として、$ H_{A,m} $ を $ (-i\nabla - A(x))^2 + m^2 $ の平方根とみなすこと。この作用素は $ C_0^\frown({\mathbb{R}}^d) $ 上で自己共役的かつ本質的自己共役的である。
• 半群 $ e^{-t(H_{A,m}-m)} $ を用いた極限議論を適用し、その核がベッセル関数 $ K_{\nu}(z) $ を含む積分で表現されることを用いて、点での不等式を導出すること。
• $ e^{-t[(H_{0,m})^\alpha - m^\alpha]} $ の核 $ k_0^{m,\alpha}(t,x) $ の積分表現を用い、$ t=0 $ での導関数を解析することで、特異核 $ n^{m,\alpha}(x) $ を得ること。
• 積分表に掲載された K-変換公式を用いて、得られた積分を評価し、$ n^{m,\alpha}(x) $ の明示的形を導出すること。$ \alpha=1 $ のときには既知のベッセル関数核に還元される。
• $ u \in L^2({\mathbb{R}}^d) $ で $ H_{A,m}u \in L^1_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d) $ を満たすとき、弱解の性質と双対性に依拠して、分布的意味で不等式 $ \operatorname{Re}[(\operatorname{sgn} u) H_{A,m}u] \geq H_{0,m}|u| $ を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カトウの不等式は、平方根として定義される非局所的作用素 $ H_{A,m} $ に対して拡張可能か？
• RQ2 解 $ u $ の正則性を仮定しないで、形式 $ \operatorname{Re}[(\operatorname{sgn} u) H_{A,m}u] \geq H_{0,m}|u| $ の分布的不等式をどのように証明できるか？
• RQ3 $ L^2_{\text{loc}} $ ベクトルポテンシャルを持つ $ H_{A,m} $ に対して、相反不等式 $ |(f, e^{-t(H_{A,m}-m)}g)| \leq (|f|, e^{-t(H_{0,m}-m)}|g|) $ が成り立つか？
• RQ4 $ V \in L^2_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d) $ で $ V \geq 0 $ 几乎 everywhere であるとき、$ H_{A,m} + V $ は $ C_0^\infty({\mathbb{R}}^d) $ 上で本質的自己共役か？
• RQ5 半群 $ e^{-t(H_{A,m}-m)} $ の核の正確な形は何か？また、ベッセル関数や積分変換とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$ A \in [L^2_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d)]^d $ を仮定したもとで、すべての $ u \in L^2({\mathbb{R}}^d) $ で $ H_{A,m}u \in L^1_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d) $ を満たす場合に、分布的カトウ不等式 $ \operatorname{Re}[(\operatorname{sgn} u) H_{A,m}u] \geq H_{0,m}|u| $ を証明する。
• すべての $ f,g \in L^2({\mathbb{R}}^d) $ に対して、相反不等式 $ |(f, e^{-t(H_{A,m}-m)}g)| \leq (|f|, e^{-t(H_{0,m}-m)}|g|) $ が成り立つ。これはカトウ不等式から直接導かれる。
• $ e^{-t[(H_{0,m})^\alpha - m^\alpha]} $ の半群核 $ k_0^{m,\alpha}(t,x) $ は、ベッセル関数 $ K_{\nu}(z) $ を含む積分で明示的に表現される。
• 特異核 $ n^{m,\alpha}(x) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{1}{t} k_0^{m,\alpha}(t,x) $ は、$$ n^{m,\alpha}(x) = \frac{2^{1+\frac{\alpha}{2}} \sin(\frac{\alpha}{2}\pi) (2\pi)^{\frac{\alpha}{2}} \Gamma(\frac{\alpha}{2}+1)}{\pi} \left(\frac{m}{2\pi}\right)^{\frac{d+\alpha}{2}} \frac{K_{\frac{d+\alpha}{2}}(m|x|)}{|x|^{\frac{d+\alpha}{2}}} $$ として導出され、$ \alpha=1 $ のときには既知の形に還元される。
• $ A \in [L^2_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d)]^d $ かつ $ V \in L^2_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d) $ で $ V \geq 0 $ 几乎 everywhere であるとき、$ C_0^\infty({\mathbb{R}}^d) $ 上で $ H_{A,m} + V $ の本質的自己共役性が確立され、自己共役拡張は下から $ m $ で有界である。
• 証明は擬微分計算に依存せず、作用素論的技術と積分表現を用いることで、弱解に正則性がなくても強固に成立する。