[論文レビュー] Kazhdan and Haagerup properties from the median viewpoint

Indira Chatterji, Cornelia Druţu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中央値距離空間と測度付きウォール構造を持つ空間の間に深い接続を確立し、性質(T)およびハーガップ性（a-T-可アービリティ）が、中央値空間および測度付きウォール構造への等長群作用を通じて特徴付けられることを示している。主な貢献は、中央値構造およびウォール構造を介した$L^p$-空間へのアフィン等長作用への統一的枠組みを提供し、性質(T)の動的特徴付けに関する未解決問題を解消したことである。

ABSTRACT

We prove the existence of a close connection between spaces with measured walls and median metric spaces. We then relate properties (T) and Haagerup (a-T-menability) to actions on median spaces and on spaces with measured walls. This allows us to explore the relationship between the classical properties (T) and Haagerup and their versions using affine isometric actions on $L^p$-spaces. It also allows us to answer an open problem on a dynamical characterization of property (T), generalizing results of Robertson-Steger.

研究の動機と目的

• 測度付きウォール構造を持つ空間と中央値距離空間の間のカテゴリカル同型を確立し、群の性質の幾何的再定式化を可能にする。
• 中央値空間および測度付きウォール構造への作用を用いて、カジランの性質(T)およびハーガップ性の動的特徴付けを提供する。
• ロバートソンとスティーガーの結果を一般化し、中央値空間における適切および有界な群作用を$L^p$-空間への等長作用に関連付ける。
• 中央値空間および測度付きウォール構造を用いた性質(T)の動的特徴付けに関する未解決問題を解消する。
• 連続的かつ適切な作用が中央値空間上に存在することはa-T-可アービリティと同値であり、有界な作用が存在することは性質(T)を意味することを示す。

提案手法

• 測度付きウォール構造を持つ任意の空間$X$から、等長埋め込みを介して、標準的な中央値空間$\mathcal{M}(X)$を構成する。
• 任意の中央値空間が、元の距離を回復するウォール距離を持つ、標準的な測度付きウォール構造を備えていることを証明する。
• 任意の中央値空間が$L^1$-空間に等長埋め込み可能であるという事実を用い、$L^p$-値カーネルを介してこれを$L^p$-空間へ拡張する。
• 中央値空間への等長群作用からタイプ1のカーネルを定義し、その平方根がタイプ2のカーネルに対応することを示す。
• 定理6.25を適用し、中央値空間上の連続的作用を、引き戻しカーネルを介して$L^p$-空間上の連続的作用へ関連付ける。
• 測度付きウォールの構造を用いて、$G$--equivariantな等長埋め込みを$L^p$-空間へ定義する。特に、複素双曲空間に対して行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質(T)およびハーガップ性は、中央値空間への等長群作用を通じて特徴付けられるか？
• RQ2 測度付きウォール構造を持つ空間と中央値距離空間の間には、群作用および距離を保存する標準的対応が存在するか？
• RQ3 中央値空間への作用は、$p > 0$に対する$L^p$-空間へのアフィン等長作用とどのように関係するか？
• RQ4 性質(T)の動的特徴付けは、実ツリーを越えて中央値および測度付きウォール構造へ拡張可能か？
• RQ5 中央値空間の$L^1$-埋め込みが、$L^p$-空間作用の特徴付けにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の測度付きウォール構造を持つ空間は、標準的な中央値空間$\mathcal{M}(X)$に等長埋め込み可能であり、任意の中央値空間は測度付きウォール構造から生じる。
• 距離が部分中央値的（すなわち、中央値空間によって誘導される）であることと、測度付きウォール構造によって誘導されることとは同値である。
• 複素双曲空間$\mathbb{H}^n_\mathbb{C}$は、ウォール距離が$\mathrm{dist}^{1/2}$となる測度付きウォール構造を備え、$SU(n,1)$-不変なウォールを持つ。
• 性質(T)およびハーガップ性は、それぞれ中央値空間への有界または適切な等長作用の存在によって特徴付けられる。
• 測度付きウォール構造上の連続的作用は、すべての$p > 0$に対して$L^p(\mathcal{H}, \mu_\mathcal{H})$への連続的アフィン等長作用を誘導する。有界な軌道は、有界な群作用に対応する。
• 中央値空間上に適切な作用が存在することはa-T-可アービリティと同値であり、有界な作用が存在することは性質(T)を意味する。これは、性質(T)の動的特徴付けに関する未解決問題を解消する。