[論文レビュー] Kazhdan and Haagerup Properties in algebraic groups over local fields

Yves Cornulier|ArXiv.org|Apr 29, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特徴値がゼロの体上の最小およびほぼ最小の可解Lie代数の構造的特徴づけを、完全可約表現および不変交代形式を用いて行った。また、特徴値がゼロの局所体上の代数的群が非分解可能なアメーブル根基を持つならば、その有理点群は相対的Property (T) を持ち、したがってHaagerupの性質を持たないことを証明した。これは、連結Lie群への結果の拡張である。

ABSTRACT

Given a Lie algebra \s, we call Lie \s-algebra a Lie algebra endowed with a reductive action of \s. We characterize the minimal \s-Lie algebras with a nontrivial action of \s, in terms of irreducible representations of \s and invariant alternating forms. As a first application, we show that if \g is a Lie algebra over a field of characteristic zero whose amenable radical is not a direct factor, then \g contains a subalgebra which is isomorphic to the semidirect product of sl_2 by either a nontrivial irreducible representation or a Heisenberg group (this was essentially due to Cowling, Dorofaeff, Seeger, and Wright). As a corollary, if G is an algebraic group over a local field K of characteristic zero, and if its amenable radical is not, up to isogeny, a direct factor, then G(K) has Property (T) relative to a noncompact subgroup. In particular, G(K) does not have Haagerup's property. This extends a similar result of Cherix, Cowling and Valette for connected Lie groups, to which our method also applies. We give some other applications. We provide a characterization of connected Lie groups all of whose countable subgroups have Haagerup's property. We give an example of an arithmetic lattice in a connected Lie group which does not have Haagerup's property, but has no infinite subgroup with relative Property (T). We also give a continuous family of pairwise non-isomorphic connected Lie groups with Property (T), with pairwise non-isomorphic (resp. isomorphic) Lie algebras.

研究の動機と目的

• 特徴値がゼロの体上の最小およびほぼ最小の可解Lie代数を、完全可約表現および不変交代形式を用いて特徴づける。
• 連結Lie群から代数群へのProperty (T) およびHaagerupの性質に関する結果を、局所体上の代数群に拡張する。
• アメーブル根基が直接因子でない場合に、局所体上の代数群がHaagerupの性質を持たない条件を確立する。
• Lie代数が互いに同型でない連続族をなすProperty (T) を持つ連結Lie群の例を構成する。
• Haagerupの性質を持たない群が無限大の部分群を相対的Property (T) に関して持つという主張の逆が成り立たない反例を提示する。

提案手法

• 半単純Lie代数 $\mathfrak{s}$ の作用に関して完全可約な作用を持つLie代数を、Lie $\mathfrak{s}$-代数と定義し、半直積構造を一般化する。
• 最小およびほぼ最小の可解Lie $\mathfrak{s}$-代数を定義し、べき零性、導来部分代数、商の完全可約性に関する条件で特徴づける。
• $\mathfrak{h}(\mathfrak{v})$ を、全$\mathfrak{s}$-加群 $\mathfrak{v}$ と $\mathfrak{s}$-不変交代形式の空間の双対の半直積として構成し、特定の括弧積ルールを導入する。
• 完全可約$\mathfrak{s}$-加群および$\mathfrak{s}$-不変交代形式の分類を用いて、すべてのほぼ最小の可解Lie $\mathfrak{s}$-代数が $\mathfrak{h}(\mathfrak{v})$ の商として得られることを示す。
• 分類結果を、非自明なアメーブル根基を持つLie代数に適用し、根基が直接因子でないならば $\mathfrak{g}$ が $\mathfrak{sl}_2$-半直積と非自明な完全可約$\mathfrak{sl}_2$-加群、またはヘイゼンベルク代数と同型な部分代数を含むことを示す。
• Lie代数の結果を局所体上の代数群に適用し、アメーブル根基が同型の意味で直接因子でないならば、$G(\mathbf{K})$ は相対的Property (T) を持ち、したがってHaagerupの性質を持たないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値がゼロの局所体上の代数的群は、いつHaagerupの性質を持たないか？
• RQ2 群の有理点群が相対的Property (T) を持つために、群のLie代数にどのような構造的条件が必要か？
• RQ3 局所体上の代数的群において、アメーブル根基の構造からHaagerupの性質の欠如を検出可能か？
• RQ4 連続族をなすProperty (T) を持つ連結Lie群が、互いに同型でないLie代数を持つことは可能か？
• RQ5 有限生成群が、いかなる無限大部分群に対しても相対的Property (T) を持たないが、Haagerupの性質を持たないことはあり得るか？

主な発見

• 可解Lie $\mathfrak{s}$-代数が最小であるための必要十分条件は、2-べき零性、$[\mathfrak{s},\mathfrak{n}] = \mathfrak{n}$、$[\mathfrak{s},D\mathfrak{n}] = 0$、および $\mathfrak{n}/D\mathfrak{n}$ が $\mathfrak{s}$-加群として完全可約であることである。
• すべてのほぼ最小の可解Lie $\mathfrak{s}$-代数は、全$\mathfrak{s}$-加群 $\mathfrak{v}$ に対し $\mathfrak{h}(\mathfrak{v}) = \mathfrak{v} \oplus \operatorname{Alt}_\mathfrak{s}(\mathfrak{v})^*$ の商として得られる。
• 特徴値がゼロの体上のLie代数 $\mathfrak{g}$ がアメーブル根基を持ち、それが直接因子でないならば、$\mathfrak{g}$ は非自明な完全可約$\mathfrak{sl}_2$-加群 $\mathfrak{v}$ を持つ $\mathfrak{sl}_2 \ltimes \mathfrak{v}$ と同型な部分代数を含む。
• 特徴値がゼロの局所体 $\mathbf{K}$ 上の代数的群 $G$ に対して、アメーブル根基が同型の意味で直接因子でないならば、$G(\mathbf{K})$ は非コンパクト部分群に関して相対的Property (T) を持ち、したがってHaagerupの性質を持たない。
• 互いに同型でない連続族をなす、Property (T) を持つ連結Lie群が存在し、それらのLie代数も互いに同型でない。これは、Property (T) がLie代数の同型類を決定しないことを示している。
• 連結Lie群における算術的格子 $\Gamma = \mathrm{SO}(q)(\mathbf{Z}[\sqrt{2}]) \ltimes \mathbf{Z}[\sqrt{2}]^n$ はHaagerupの性質を持たないが、相対的Property (T) を持つ無限大部分群を含まない。これは、Haagerupの性質の欠如が、そのような部分群の存在を含意するわけではないことを示している。