[論文レビュー] Kazhdan Constants for $SL_n(Z)$

Martin Kassabov|ArXiv.org|Nov 26, 2003

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、基本行列を生成元とする $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ のカジダン定数の新たな下界を確立し、$\mathcal{K}(\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}), E_n) \geq (42\sqrt{n} + 860)^{-1}$ を証明する。この結果は、既知の上界 $\sqrt{2/n}$ の漸近的成長率と一致する。この結果は、有界生成と一般化された基本操作を用いて得られ、スペクトルギャップの推定値と積み重ねアルゴリズムのアルゴリズム的境界の両方を改善する。

ABSTRACT

In this article we improve the known Kazhdan constant for $SL_n(Z)$ with respect to the generating set of the elementary matrices. We prove that the Kazhdan constant is bounded from below by $[42\sqrt{n}+860]^{-1}$, which gives the exact asymptotic behavior of the Kazhdan constant, as $n$ goes to infinity, since $\sqrt{2/n}$ is an upper bound. We can use this bound to improve the bounds for the spectral gap of the Cayley graph of $SL_n(F_p)$ and for the working time of the product replacement algorithm for abelian groups.

研究の動機と目的

• 標準的生成集合である基本行列に対する $\\operatorname{SL}_n(\\mathbb{Z})$ のカジダン定数の定量的下界を確立すること。
• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ のカーリー図のスペクトルギャップに関する既存の境界を改善すること。
• アーベル群における積み重ねアルゴリズムの実行時間の分析のための定量的基盤を提供すること。
• 数体の整数環やその他の可換環へのこの手法の拡張。

提案手法

• Y. Shalom の有界生成アプローチを活用し、カジダン定数の明示的下界を構築すること。
• $\mathbb{Z}^k$ におけるベクトル系に対する一般化された基本操作を導入し、変換の複雑さを制御すること。
• $\mathbb{Z}[t_1,\dots,t_s]$ のプロファイント完成の構造定理と帰納法を用いて、必要な変換回数の上限を求める。
• Carter と Keller の $\operatorname{SL}_3(\mathcal{O})$ における有界生成に関する結果を応用し、数体の整数環への境界の拡張を行う。
• 再帰的構成において定数をきめ細かく追跡することで、以前の研究より tighter な境界を達成すること。
• 稠密部分環と安定範囲の性質を活用して、コンパクト環やループ群（例：$\mathcal{L}(\operatorname{SL}_n(\mathbb{C}))$）へのフレームワークの一般化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ の基本行列生成子に関するカジダン定数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 よりタイトなカジダン定数を用いることで、$\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ のスペクトルギャップの境界を改善できるか？
• RQ3 数体の整数環 $\mathcal{O}$ に対して $\operatorname{SL}_n(\mathcal{O})$ のカジダン定数はどのように振る舞うか？
• RQ4 この手法を $\mathbb{Z}[[t]]$ や $\operatorname{Hom}(S^1, \mathbb{C})$ のような非算術的環へ拡張できるか？
• RQ5 一般の場合において、数体の判別式に依存するカジダン定数の依存関係は何か？

主な発見

• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ における基本行列に対するカジダン定数は、下界 $ (42\sqrt{n} + 860)^{-1} $ で抑えられ、既知の上界 $ \sqrt{2/n} $ の漸近的成長率と一致する。
• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ に対しては、境界が $ (31\sqrt{n} + 700)^{-1} $ に改善され、スペクトルギャップの推定値が向上する。
• 数体の整数環 $\mathcal{O}$ に対して、$\operatorname{SL}_n(\mathcal{O})$ の境界は $ (50\sqrt{n} + (B + C\Delta)6^m)^{-1} $ となる。ここで $\mathcal{O}$ は判別式 $\Delta$ を持つ。
• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[t_1,\dots,t_s])$ の境界は、$ l_s(n) = \min\{\sqrt{3n + 21.6^s}, 12\} $ および $ k_s(n) = \min\{\sqrt{6n + 48.6^s}, 12\} $ を用いて一般化され、変換の複雑さが制御される。
• ループ群 $\mathcal{L}(\operatorname{SL}_n(\mathbb{C}))$ は、Lie 群でないにもかかわらず、カジダン定数が少なくとも $ (50\sqrt{n} + B)^{-1} $ であることが示され、性質 $T$ を持つ。
• 安定範囲が 2 以下で、有限生成な稠密部分環を持つ任意の環 $R$ に対して、$\operatorname{SL}_n(R)$ のカジダン定数は $ O(1/\sqrt{n}) $ のオーダーとなる。