[論文レビュー] Kazhdan-Lusztig polynomials and character formulae for the Lie superalgebra q(n)

Jonathan Brundan|ArXiv.org|Jul 2, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、量子群 U_q(𝔟_∞) の設定において、Kazhdan-Lusztig 多項式と canonical basis を用いて、Lie 超代数 𝖗(n) の有限次元既約表現の特性式を確立する。特に対称的でゼロ重みを持つペアを用いた符号付きシフトによって定義される共役関係において、μ が λ の共役であるとき、分解数 d_{μ,λ} は 2^{(z(λ)−z(μ))/2} に等しく、それ以外の場合は 0 であると示し、Kac の 𝖗(n) に対する特性式問題を完全な組合せ的解法で解決する。

ABSTRACT

The problem of computing the characters of the finite dimensional irreducible representations of the Lie superalgebra $\mathfrak q(n)$ over $\C$ was solved in 1996 by I. Penkov and V. Serganova. In this article, we give a different approach relating the character problem to canonical bases of the quantized enveloping algebra $U_q(\mathfrak b_{\infty})$. We also formulate for the first time a conjecture for the characters of the infinite dimensional irreducible representations in the analogue of category $\mathcal O$ for the Lie superalgebra $\mathfrak{q}(n)$.

研究の動機と目的

• 1977 年に Kac が提起した、Lie 超代数 𝖗(n) の有限次元既約表現の特性式を計算する問題を解決すること。
• 量子群 U_q(𝔟_∞) 及びその canonical basis を用いた、新しい Lie 理論的枠組みを提供すること。
• Q(n)-表現の Grothendieck 群における分解数 d_{μ,λ} の明確な組合せ的公式を確立すること。
• q=1 における転送行列を介して、Fock 空間 𝔽^n の canonical basis を Q(n) の特性式環へ結びつけること。
• q=1 における同じ転送行列の成分が、Q(n) の Verma 加群における組成多重度を計算することを予想すること。

提案手法

• Lusztig の方法を用いて、U_q(𝔟_∞) のテンソル空間 𝔗^n = ⊗^n 𝔛V の canonical basis を構成する。
• Jing, Misra, Okado の構成を用いて、外冪空間 𝔽^n = ∧^n 𝔛V を 𝔗^n の商として実現する。
• 商写像の下で 𝔗^n の canonical basis の像として、𝔽^n の canonical basis を定義する。
• q=1 における 𝔽^n の canonical 基底と単項式基底の間の転送行列を、特性式環における分解行列 d_{μ,λ} と同一視する。
• Chevalley 生成子 E_i, F_i の双対性と作用を用いて、単射的で分解不能な加群 U(λ) を再帰的に構成し、canonical basis と関連付ける。
• 写像 ι* が 𝔽^n の canonical basis 要素 U_λ(1) を、Grothendieck 群における単射的で分解不能な加群の類 [U(λ)] に写すことにより、特性式公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q(n) の既約表現の分解数 d_{μ,λ} の組合せ的構造は何か？
• RQ2 U_q(𝔟_∞) の canonical basis を用いて、𝖗(n) の Kazhdan-Lusztig 多項式をどのように定義できるか？
• RQ3 Fock 空間 𝔽^n の canonical basis と Q(n) の特性式環との間の明確な関係は何か？
• RQ4 分解数 d_{μ,λ} は、重み λ 及びそのゼロ重み構造を用いて明示的に計算可能か？
• RQ5 q=1 における canonical 基底と単項式基底の間の転送行列は、既約特性式の分解行列に等しいか？

主な発見

• 分解数 d_{μ,λ} は、μ が θ ∈ {0,1}^p に対してある R_θ(λ) の軌道上にあるとき d_{μ,λ} = 2^{(z(λ)−z(μ))/2} に等しく、それ以外の場合は 0 である。
• z(λ) は、最高重み λ ∈ ℤ_+^n のゼロ成分の数を数える。
• 𝔽^n の canonical basis の構成は、Lusztig の canonical basis 理論を用いて構築された 𝔗^n の canonical basis を商としてとることにより達成される。
• q=1 における 𝔽^n の canonical 基底と単項式基底の間の転送行列は、Q(n) の Grothendieck 群における分解行列 d_{μ,λ} に等しい。
• 写像 ι* は、canonical basis 要素 U_λ(1) を、Grothendieck 群における単射的で分解不能な加群の類 [U(λ)] に写す。
• 主な結果は、分解数 d_{μ,λ} が、U_q(𝔟_∞) の canonical basis の構造定数 u_{μ,λ}(q) を q=1 で評価したものに等しいことを示唆している。