[論文レビュー] Kazhdan-Lusztig polynomials for 321-hexagon-avoiding permutations

Sara Billey, Gregory S. Warrington|ArXiv.org|May 5, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、対称群 $\mathfrak{S}_n$ における $w$ が 321-ヘキサゴンを避ける場合のカジダン＝ルシュティグ多項式 $P_{x,w}$ に対して、縮約表現の部分表現における欠損統計を用いて、明示的かつ非再帰的な公式を提供する。主な結果は、$P_{x,w} = \sum q^{d(\sigma)}$ であり、これは $x$ を生成するマスク $\sigma$ 全体の和である。このクラスの置換は $\operatorname{IH}^*(X_w) \cong H^*(Y)$ を満たし、$X_w$ のポincare多項式は $(1+q)^{l(w)}$ に等しい。結果は非分岐ワイル群 $B_n, F_4, G_2$ に拡張可能である。この枠組みにより計算が簡素化され、特異点集合と小解像が特徴付けられる。

ABSTRACT

We give a combinatorial formula for the Kazhdan-Lusztig polynomials $P_{x,w}$ in the symmetric group when $w$ is a 321-hexagon-avoiding permutation. Our formula, which depends on a combinatorial framework developed by Deodhar, can be expressed in terms of a simple statistic on all subexpressions of any fixed reduced expression for $w$. We also show that $w$ being 321-hexagon-avoiding is equivalent to several other conditions, such as the Bott-Samelson resolution of the Schubert variety $X_w$ being small. We conclude with a simple method for completely determining the singular locus of $X_w$ when $w$ is 321-hexagon-avoiding.

研究の動機と目的

• 321-ヘキサゴンを避ける場合の対称群 $\mathfrak{S}_n$ におけるカジダン＝ルシュティグ多項式 $P_{x,w}$ に対して、非再帰的かつ組み合わせ的な公式を提供すること。
• 交差コホモロジーとヘッケ代数の構造を含む、コホモロジー的および代数的不変量を用いてシューベルティ変形 $X_w$ を特徴付けること。
• ボット＝サマエル解像が小解像である場合、および $X_w$ が小解像をもつ場合の条件を特定すること。
• 321-ヘキサゴンを避ける $w$ に対して、$X_w$ の特異点集合を完全に特定すること。
• $\mathfrak{S}_n$ から $B_n, F_4, G_2$ などの非分岐コクセター図を持つ他のワイル群への結果の拡張すること。

提案手法

• 321-ヘキサゴンを避けるとき、カジダン＝ルシュティグ多項式のデオドゥラの組み合わせ的枠組みが、部分表現における欠損統計の計算に帰着されることを用いる。
• 置換 $w$ の固定された縮約表現 $\mathbf{a}$ に対するマスク $\sigma$ に対して、$\sigma$ が $x\leq w$ を生成する部分表現に対応するとき、欠損統計 $d(\sigma)$ を定義する。
• 部分表現の構造を分析し、主要な性質の同値性を証明するために欠損グラフを用いる。
• ポincare多項式 $\sum \dim(\operatorname{IH}^{2i}(X_w)) q^i = (1+q)^{l(w)}$ の同値性を用いて、321-ヘキサゴンを避ける置換を特徴付ける。
• 例 4 で示されるように、正の欠損統計を持つマスクの列挙により、$P_{x,w}$ を明示的に計算する。
• 321-回避を短いブレード回避に置き換えることで、$B_n, F_4, G_2$ に結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カジダン＝ルシュティグ多項式 $P_{x,w}$ が $\mathfrak{S}_n$ で非再帰的かつ組み合わせ的な公式をもつのは、どのような場合か？
• RQ2 交差コホモロジーのポincare多項式が $(1+q)^{l(w)}$ に等しいような置換 $w$ の正確な特徴付けは何か？
• RQ3 ボット＝サマエル解像が小解像であるのは、どのような条件下か？また、$X_w$ が小解像をもつのはどのような場合か？
• RQ4 321-ヘキサゴンを避ける $w$ の場合、$X_w$ の特異点集合を完全に特定できるか？
• RQ5 ヘッケ代数の基底元 $C_w'$ が $C_{s_i}'$ の積として表されるのと、$w$ のパターン回避条件との関係は何か？

主な発見

• 321-ヘキサゴンを避ける $w$ に対して、カジダン＝ルシュティグ多項式 $P_{x,w}$ は、固定された $w$ の縮約表現 $\mathbf{a}$ におけるすべてのマスク $\sigma$ についての和 $\sum q^{d(\sigma)}$ として与えられる。ここで $d(\sigma)$ は欠損統計である。
• 交差コホモロジーのポincare多項式が $(1+q)^{l(w)}$ に等しいのは、$w$ が 321-ヘキサゴンを避ける場合に限る。
• ヘッケ代数の基底元 $C_w'$ が $C_{s_{i_1}}' \cdots C_{s_{i_r}}'$ と表されるのは、$w$ が 321-ヘキサゴンを避ける場合に限る。
• ボット＝サマエル解像が小解像であるのは、$w$ が 321-ヘキサゴンを避ける場合に限る。
• 321-ヘキサゴンを避ける $w$ に対して、$X_w$ の交差コホモロジーはそのボット＝サマエル解像の通常コホモロジーと同型である。すなわち $\operatorname{IH}_*(X_w) \cong H_*(Y)$ である。
• 321-ヘキサゴンを避ける $w$ の場合、$X_w$ の特異点集合は完全に特定可能であり、このような多様体は $[3,4,1,2]$ パターンを含む場合にのみ特異的である。