[論文レビュー] Kazhdan projections, random walks and ergodic theorems

Cornelia Druţu, Piotr W. Nowak|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Advanced Operator Algebra Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一様凸なバナッハ空間におけるKazhdan射影、確率的ランダムウォーク、およびエルゴディック定理の間の関係を、群のランダムウォークに関連するマルコフ作用素を導入することで確立する。一様凸性のもとで、スペクトルギャップ、反復マルコフ作用素の収束、Kazhdan射影の存在が同値であることを証明し、Neumann級数による射影の明示的公式を提示する。主な貢献は、ワーペッドコーンに対する非コンパクトなゴースト射影の構成であり、これは粗い Baum-Connes予想の反例を提供すると予想されている。

ABSTRACT

In this paper we investigate generalizations of Kazhdan's property $(T)$ to the setting of uniformly convex Banach spaces. We explain the interplay between the existence of spectral gaps and that of Kazhdan projections. Our methods employ Markov operators associated to a random walk on the group, for which we provide new norm estimates and convergence results. They exhibit useful properties and flexibility, and allow to view Kazhdan projections in Banach spaces as natural objects associated to random walks on groups. We give a number of applications of these results. In particular, we address several open questions. We give a direct comparison of properties $(TE)$ and $FE$ with Lafforgue's reinforced Banach property $(T)$; we obtain shrinking target theorems for orbits of Kazhdan groups; finally, answering a question of Willett and Yu we construct non-compact ghost projections for warped cones. In this last case we conjecture that such warped cones provide counterexamples to the coarse Baum-Connes conjecture.

研究の動機と目的

• 一様凸バナッハ空間へのKazhdanの性質(T)の一般化を、ランダムウォークとマルコフ作用素を用いて行う。
• この文脈において、スペクトルギャップ、マルコフ作用素の収束、Kazhdan射影の存在の間の同値性を確立する。
• 非解決の問題、特にワーペッドコーンに対する非コンパクトゴースト射影の構成を解決する。
• 幾何的群論とエルゴディック理論を用いて、粗い Baum-Connes予想を研究するための新しい枠組みを提供する。

提案手法

• 一様凸バナッハ空間への等長的群表現の族を導入し、群上に許容可能な確率測度を定義する。
• ランダムウォークに関連するマルコフ平均化作用素 Aμπ を定義し、固定ベクトルへの射影への収束を分析する。
• スペクトルギャップ、固定点補空間上での Aμπ の作用素ノルムの均等収束、反復作用素のsummable収束の間の同値性を証明する。
• Neumann級数を用いてKazhdan射影の明示的公式を導出する：Pπ = IE − (∑ₙ₌₀^∞ (Aμπ)^n)(IE − Aμπ)。
• ワーペッドコーンにこの枠組みを適用し、L²(O,ν) 上に有限伝搬作用素のノルム極限として得られる射影 G を構成する。
• Fubiniの定理とスペクトルギャップの推定を用いて、G が非コンパクトなゴースト射影であることを示し、作用素ノルムの収束 ∥π(ρᵏ) − G∥ ≤ λᵏ（λ < 1）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様凸バナッハ空間における群表現のスペクトルギャップは、マルコフ作用素の収束およびKazhdan射影を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 群上の許容可能なランダムウォークは、バナッハ代数におけるKazhdan射影の有効な構成をもたらすか？
• RQ3 ワーペッドコーンに対して非コンパクトなゴースト射影を構成できるか？また、それらは粗い Baum-Connes予想を妨げるか？
• RQ4 一様凸性は、スペクトルギャップと作用素収束の同値性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 これらの構成は、Lafforgueの強化されたバナッハ性質(T)および性質(TE)/FEとどのように関係するか？

主な発見

• 一様凸バナッハ空間上の一様的群表現族におけるスペクトルギャップの存在は、固定点補空間上でのマルコフ作用素 Aμπ の作用素ノルムの均等収束（‖Aμπ|Eπ‖ < λ < 1）と同値である。
• Neumann級数を用いてKazhdan射影 Pπ の明示的公式が導出される：Pπ = IE − (∑ₙ₌₀^∞ (Aμπ)^n)(IE − Aμπ)。
• 任意の許容可能な測度 μ に対して、反復マルコフ作用素 (Aμπ)^k は Pπ にsummable速度で収束し、‖(Aμπ)^k − Pπ‖ ≤ ak を満たす（∑ₖ ak ≤ S < ∞）。
• ワーペッドコーン OGM 上の射影 G は、非コンパクトなゴースト射影であり、有限伝搬作用素のノルム極限として得られる。作用素ノルムの収束は ∥π(ρᵏ) − G∥ ≤ λᵏ（λ < 1）を満たす。
• この構成により、非ヒルバート空間上での非コンパクトゴースト射影の最初の既知の例が得られ、このようなワーペッドコーンが粗い Baum-Connes予想の反例を提供すると予想されることを支持する。
• この枠組みは、コンパクトな距離空間上にスペクトルギャップを有する作用に適用可能であり、作用にスペクトルギャップがあるとき、Bochner空間 L²(M,m;E) 上にゴースト射影を導く。