[論文レビュー] KdV equation under periodic boundary conditions and its perturbations

Guan Huang, Sergei Kuksin|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 59被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、周期的境界条件の下でのKorteweg-de Vries（KdV）方程式を無限次元ハミルトニアン系として考察し、摂動下での可積分性および長時間ダイナミクスに注目する。摂動下でギブス分布およびガウス分布が$\epsilon$-準不変となる条件を確立し、特にハミルトニアンの凸性が原点付近で$\epsilon^{-p}$オーダーの時間スケールでの安定性を示唆するNekhoroshev型の長時間安定性の可能性について論じる。

ABSTRACT

In this paper we discuss properties of the KdV equation under periodic boundary conditions, especially those which are important to study perturbations of the equation. Next we review what is known now about long-time behaviour of solutions for perturbed KdV equations.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件の下でのKdV方程式を、可算無限の自由度を持つ無限次元ハミルトニアン系として分析すること。
• ギブス分布および$\epsilon$-準不変測度を含む不変測度が、小さな摂動下でも安定するための条件を確立すること。
• 摂動KdV方程式の解の長時間的挙動を、特にKAM理論およびNekhoroshev型安定性の文脈で調査すること。
• 有限次元可積分系の結果（例えば、Birkhoff座標、凸性）を、KdVの無限次元設定に拡張すること。
• ハミルトニアン摂動下で、一般の滑らかな初期データに対して長時間安定性が存在するかという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• トーラス$\mathbb{T}$上でのKdV方程式に、無限次元ハミルトニアン系の形式的枠組みを適用し、Sobolev空間$H^p$とフーリエ展開に基づく表現を用いる。
• KdV方程式はLax対および非線形フーリエ変換を用いて可積分であることが示され、作用角変数およびBirkhoff座標の構成が可能になる。
• 摂動KdV方程式に対してKAM定理を適用し、小さなハミルトニアン摂動下で準周期的解の存在を確立する。
• 摂動解の長時間的挙動を解析するため、確率的および決定的両方の平均化法を用いる。
• 摂動作用素$\mathcal{P}$の変換された位相空間上での解析的条件の検証により、$\epsilon$-準不変測度の概念を導入する。
• Vey定理および$H_K(I)$の$l^2$上でのハミルトニアンの凸性といった理論的道具を用いて、安定性の予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KdV方程式の小さな摂動下で、$H^p$上でのギブス分布およびガウス分布がどの条件下で近似的に不変となるか。
• RQ2 特にハミルトニアンが厳密に凸である原点付近において、摂動KdVに対してNekhoroshev型の長時間安定性を確立できるか。
• RQ3 位相空間$h^p$において$\epsilon$-準不変測度の存在を保証するための摂動の十分条件は何か。
• RQ4 KdVにおけるBirkhoff座標および非線形フーリエ変換の結果は、摂動系へどのように拡張できるか。
• RQ5 原点の小さな近傍に限定されず、すべての滑らかな初期データに対して、ハミルトニアン摂動下で長時間安定性が可能か。

主な発見

• 周期的境界条件の下でのKdV方程式は、Lax対および非線形フーリエ変換を用いて可積分であることが示され、Birkhoff座標による作用角変数が構成された。
• ハミルトニアン$H_K(I)$は$l^2$上で凸であるため、原点付近でNekhoroshev型の長時間安定性が期待される。
• 摂動作用素$\mathcal{P}$が$h^p$から$h^{p-\zeta_0'}$へ写像し、$\zeta_0' < -1$を満たすならば、$\zeta_0'$-適応ガウス測度は摂動KdV方程式に対して$\epsilon$-準不変である。
• ギブス測度$\eta_p = e^{-J_p(u)}\mu_p$は、$\zeta_0 \leq -2$のとき$\epsilon$-準不変であり、滑らかな$f$を用いた外部駆動項$\epsilon f(x)$への応用も含む。
• 定理4.15および推論4.16は、摂動が滑らかである場合、典型的な初期データについて$\epsilon^{-1}$オーダーの時間区間で長時間安定性が成立することを示唆する。
• 本稿では、長時間安定性をすべての滑らかな初期データおよび原点の小さな近傍を越えた一般のハミルトニアン摂動へ拡張する問題が未解決として特定されている。