[論文レビュー] Keeler's theorem and products of distinct transpositions

Ron Evans, Lihua Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、『Futurama』におけるマインド・スイッチング置換に関するキールの定理を精緻化し、元の $ n + 2r $ や $ n + 2r + 1 $ のスイッチに代えて、$ n + r + 2 $ 個の異なる対換のみを用いて任意の置換を元に戻すより効率的なアルゴリズムを提示する。この方法では2人の外部者を用いてスイッチ数を最小化するとともに、すべての対換が元のものと互いに素でかつ相異なることを保証する。

ABSTRACT

An episode of Futurama features a two-body mind-switching machine which will not work more than once on the same pair of bodies. After the Futurama community engages in a mind-switching spree, the question is asked, "Can the switching be undone so as to restore all minds to their original bodies?" Ken Keeler found an algorithm that undoes any mind-scrambling permutation with the aid of two "outsiders." We refine Keeler's result by providing a more efficient algorithm that uses the smallest possible number of switches. We also present best possible algorithms for undoing two natural sequences of switches, each sequence effecting a cyclic mind-scrambling permutation in the symmetric group S_n. Finally, we give necessary and sufficient conditions on m and n for the identity permutation to be expressible as a product of m distinct transpositions in S_n.

研究の動機と目的

• キールのアルゴリズムよりも効率的で、任意のマインド・スイッチング置換を最小限の異なる対換数で元に戻すアルゴリズムを提供すること。
• 2人の外部者を用いた場合に、元の体にマインドを元に戻すために必要な最小スイッチ数を特定すること。
• 対称群 $ S_n $ において、$ m $ 個の異なる対換の積として恒等置換を表現できるための必要十分条件を確立すること。
• 2つの代表的な $ n $-サイクルの置換列を分析し、それぞれに対して最適な元に戻す戦略を特定すること。
• 恒等置換が $ S_n $ において $ m $ 個の異なる対換の積として表現可能であるためには、$ m $ が偶数でかつ $ m \geq 6 $ でなければならないことを証明すること。

提案手法

• 2人の外部者 $ x $ と $ y $ を用いて、元の置換 $ P $ の対換とすべて異なる $ S_{n+2} $ 内の置換 $ \sigma $ を構成する。
• 各長さ $ k_i $ のサイクル $ C_i $ に対して、$ k_i + 2 $ 個の対換からなる積 $ \sigma_i $ を定義し、$ \sigma_i C_i = (xy) $ となるように、$ (xu) $ および $ (yu) $ の因子のみを用いる。
• 各 $ \sigma_i $ を $ \tau = \sigma_r \cdots \sigma_1 $ として合成し、$ \tau P = (xy)^r $ となるようにし、$ r $ の偶奇に応じて $ \sigma $ を調整して恒等置換を得る。
• サイクル分解と対換数の数え上げの議論を用いて、$ n + r + 2 $ が必要な最小対換数であることを証明し、最適性を示す。
• 関数 $ f(a,b,c) = (ac)(ab)(bc) $ を用い、積内の対換数を2つ増やしても置換を変えないことで、恒等置換の積を帰納的に構成可能にする。
• $ S_4 $ から $ S_8 $ までに明示的な恒等置換の表現を構成し、その後 $ f(a,b,c) $ を用いた置換技法を用いて帰納的にすべての $ S_n $ に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人の外部者を用いて、任意の置換 $ P \in S_n $ を元に戻すために必要な最小の異なる対換数は何か？
• RQ2 恒等置換 $ I $ は $ S_n $ において $ m $ 個の異なる対換の積として表現可能か？もし可能であれば、どの $ m $ の値に対して成立するか？
• RQ3 $ S_n $ における2つの代表的な $ n $-サイクル置換 $ P_1 $ と $ P_2 $ を元に戻すために必要な最小スイッチ数は何か？
• RQ4 キールの元のアルゴリズムは最適か？もし非最適であれば、対換数の観点からどの程度改善可能か？
• RQ5 $ S_n $ における巡回的マインド・スイッチング置換を元に戻すために必要な最小の外部者数は何か？これは $ n $ に依存するか？

主な発見

• $ r $ 個の互いに素なサイクルを持つ任意の置換 $ P \in S_n $ を元に戻すために必要な最小対換数は $ n + r + 2 $ であり、この上限はタイトである。
• キールの元のアルゴリズムは $ r = 1 $ および $ r = 2 $ の場合にのみ最適である。$ r \geq 3 $ の場合、新しいアルゴリズムはスイッチ数を少なくとも2つ削減する。
• 恒等置換 $ I $ は、$ S_n $ において $ m $ 個の異なる対換の積として表現可能であるための必要十分条件は、$ m $ が偶数でかつ $ 6 \leq m \leq \binom{n}{2} $ であることである。
• $ n \geq 4 $ の場合、$ f(a,b,c) $ を用いた帰納的置換技法により、有効な範囲内のすべての偶数 $ m $ に対して、$ I $ を $ m $ 個の異なる対換の積として明示的に構成可能である。
• $ S_4 $ では、すべての6つの対換の積として恒等置換を表せる：$ (12)(23)(14)(13)(24)(34) $。これは帰納法の基本ステップとして用いられる。
• $ n = 2 $ の場合、2人の外部者が必要である。$ n = 3 $ および $ n = 4 $ の場合、1人の外部者で $ P_1 $ を元に戻すことができ、最適な $ \sigma $ が明示的に構成されている。