[論文レビュー] Kempf collapsing and quiver loci

Allen Knutson, Mark Shimozono|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ADE型のクイバーに対して、Kempfの崩壊構成を用いて、クイバー局所の多重次数およびK多項式を統一的に計算する枠組みを構築する。重みから得られる線形形式の積に差分作用素を適用することで、クイバー多項式およびK理論的クラスの明示的公式を導出し、従来の結果をA型に限らずD型およびE型のクイバーにまで拡張する。

ABSTRACT

Kempf [1976] studied proper, G-equivariant maps from equivariant vector bundles over flag manifolds to G-representations V, which he called _collapsings_. We give a simple formula for the G-equivariant cohomology class on V, or_multidegree_, associated to the image of a collapsing: apply a certain sequence of divided difference operators to a certain product of linear polynomials, then divide by the number of components in a general fiber. When that number of components is 1, we construct a desingularization of the image of the collapsing. If in addition the image has rational singularities, we can use the desingularization to give also a formula for the G-equivariant K-class of the image, whose leading term is the multidegree. Our application is to quiver loci and quiver polynomials. Let Q be a quiver of finite type (A, D, or E, in arbitrary orientation), and assign a vector space to each vertex. Let \Hom denote the (linear) space of representations of Q with these vector spaces. This carries an action of GL, the product of the general linear groups of the individual vector spaces. A_quiver locus_ Ωis the closure in \Hom of a GL-orbit, and its multidegree is the corresponding _quiver polynomial_. Reineke [2004] proved that every ADE quiver locus is the image of a birational Kempf collapsing (giving a desingularization directly). Using Reineke's collapsings, we give formulae for ADE quiver polynomials, previously only computed in type A (though in this case, our formulae are new). In the A and D cases quiver loci are known to have rational singularities [Bobiński-Zwara 2002], so we also get formulae for their K-classes, which had previously only been computed in equioriented type A (and again our formulae are new).

研究の動機と目的

• Kempfの崩壊構成を用いて、A型クイバーに限らないクイバー多項式の公式を一般化すること。
• 有限型クイバー（A, D, E）におけるクイバー局所の多重次数を体系的に計算する方法を提供すること。
• 有理的特異点が知られているD型およびE型におけるクイバー局所のK理論的クラスの計算を拡張すること。
• Reinekeの結果を活用して、クイバー局所を双有理的Kempf崩壊の像として統一的に記述すること。

提案手法

• G・Zの多重次数を計算するために、P-不変部分空間Zの多重次数に連続して差分作用素を適用する。
• 崩壊写像の一般ファイバーの成分数を、公式における正規化係数として用いる。
• Reinekeの結果（ADE型クイバー局所はすべて双有理的Kempf崩壊の像として得られる）を活用する。
• ファイバーが連結である場合、崩壊写像を用いてクイバー局所の特異点解消を構成する。
• 特異点解消を用いて、クイバー局所のK多項式を計算し、その主要項が多重次数となるようにする。
• GL軌道として実現可能なクイバー局所をKempf崩壊の像として用いることで、A型、D型、E型クイバーにおける方法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D型およびE型クイバー局所の多重次数は、A型と同様の統一的メソッドで計算可能か？
• RQ2 Kempf崩壊の像のG-不変コホモロジー類（多重次数）の明示的公式は何か？
• RQ3 Kempf崩壊による特異点解消から、クイバー局所のK類を計算できる条件は何か？
• RQ4 差分作用素は重みの積に対してどのように作用し、クイバー多項式を生成するか？
• RQ5 一般のクイバーに対して、B不変部分空間のGLスイープは、一般のクイバー局所よりもより良い性質を持つ多様体のクラスを提供するか？

主な発見

• A型、D型、E型クイバー局所の多重次数は、Y/ZにおけるT-重みの積に連続して差分作用素を適用し、その後ファイバー成分数で割ることで得られる。
• A型の場合、この公式は既知の二重シュール多項式 $s_{(m-r)\times(n-r)}[X-Y]$ を回復し、Giambelli-Thom-Porteousの公式と一致する。
• D型およびE型では、同じ方法によりクイバー多項式の新公式が得られ、従来A型に限られていた結果を拡張する。
• 崩壊が双有理的であり、像が有理的特異点を持つ場合、特異点解消を用いてクイバー局所のK多項式が計算され、K類の新公式が得られる。
• 本手法はADE型クイバー全体に一様に適用可能であり、主な洞察はReinekeの構成が標準的特異点解消を提供することにある。
• 自己ループや多重辺のないクイバーでは、B不変部分空間が有限個に限られるため、このような部分空間のGLスイープは、一般のクイバー局所よりも自然な対象である可能性がある。