[論文レビュー] Kepler's Orbits and Special Relativity in Introductory Classical Mechanics

Tyler J. Lemmon, Antonio Mondragon|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特殊相対性理論のみを用いて、ケプラーランの相対論的補正を簡略化したラグランジュ的アプローチを提示する。ニュートンの運動エネルギーに相対論的運動エネルギーを置き換え、重力はニュートンのままとしている。近似軌道方程式を導出し、近日点移行、減少した円軌道半径、および増加した離心率といった重要な相対論的効果を再現する。最も単純なモデルでは近日点移行率が一般相対性理論の値の1/6に、より改善されたモデルでは1/3に達し、これらは学部学生が理解可能な内容である。

ABSTRACT

Kepler's orbits with corrections due to Special Relativity are explored using the Lagrangian formalism. A very simple model includes only relativistic kinetic energy by defining a Lagrangian that is consistent with both the relativistic momentum of Special Relativity and Newtonian gravity. The corresponding equations of motion are solved in a Keplerian limit, resulting in an approximate relativistic orbit equation that has the same form as that derived from General Relativity in the same limit and clearly describes three characteristics of relativistic Keplerian orbits: precession of perihelion; reduced radius of circular orbit; and increased eccentricity. The prediction for the rate of precession of perihelion is in agreement with established calculations using only Special Relativity. All three characteristics are qualitatively correct, though suppressed when compared to more accurate general-relativistic calculations. This model is improved upon by including relativistic gravitational potential energy. The resulting approximate relativistic orbit equation has the same form and symmetry as that derived using the very simple model, and more accurately describes characteristics of relativistic orbits. For example, the prediction for the rate of precession of perihelion of Mercury is one-third that derived from General Relativity. These Lagrangian formulations of the special-relativistic Kepler problem are equivalent to the familiar vector calculus formulations. In this Keplerian limit, these models are supposed to be physical based on the likeness of the equations of motion to those derived using General Relativity. The derivation of this orbit equation is approachable by undergraduate physics majors and nonspecialists whom have not had a course dedicated to relativity.

研究の動機と目的

• 入門的古典力学の文脈で、ケプラーランの相対論的補正をわかりやすく導入する教育的で妥当な手法を提供すること。
• 特殊相対性理論のみで、一般相対性理論の軌道補正の主要な特徴（近日点移行など）を再現できることを示すこと。
• ベクトル解析の手法と同等の結果を得るが、高度な相対論の訓練を受けない学生にとって直感的であるラグランジュ形式を構築すること。
• 得られた軌道方程式が、弱い場、低速度の極限において一般相対性理論から導かれるものと同じ形をしていることを示し、定性的な比較を可能にすること。
• 相対論的重力ポテンシャルエネルギーを導入することでモデルを拡張し、一般相対性理論との定量的整合性を高めること。

提案手法

• 相対論的運動エネルギー（γmを用いて）とニュートンの重力ポテンシャルを用いたラグランジアンを定式化し、ラグランジュの運動方程式により運動方程式を導出する。
• ケプラーランの極限近似を適用し、相対論的補正が小さいほぼ楕円軌道に焦点を当てる。
• 変数変換と対応原理を用いて微分方程式を、ニュートンの楕円軌道に類似した解ける形に変換する。
• 近日点移行、減少した半径、増加した離心率を明示的に示す近似相対論的軌道方程式を導出する。
• ニュートンの法則においてmをγmに置き換えることで相対論的重力力を導入し、保存力ポテンシャルを導出し、ラグランジアンに組み込む。
• ケプラーランの極限において摂動的に解き、一般相対性理論とのより良い一致を達成する改良された軌道方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊相対性理論のみを用いた単純なラグランジュモデルが、近日点移行といった相対論的補正の主要特徴を再現できるか。
• RQ2 相対論的運動エネルギーとニュートン重力のみを用いたモデルが、予測する近日点移行率はどの程度か。
• RQ3 相対論的重力ポテンシャルエネルギーを含めることで、一般相対性理論との比較において、予測される軌道的特徴の正確性はどのように向上するか。
• RQ4 得られた軌道方程式は、弱い場、低速度の極限において一般相対性理論から導かれるものとどの程度類似しているか。
• RQ5 このアプローチは、より広いケプラーランの極限を用いた、他の修正重力モデルへ一般化可能か。

主な発見

• 最も単純なモデル（相対論的運動エネルギーとニュートン重力のみ）は、弱い場の極限において一般相対性理論のものと同じ形の近似軌道方程式を生成する。
• 最も単純なモデルにおける水星の近日点移行率は、一般相対性理論の予測値の1/6に相当し、既知の特殊相対性理論の計算と整合的である。
• 相対論的重力ポテンシャルエネルギーを含めた改良モデルでは、近日点移行率が一般相対性理論の値の1/3に達し、より良好な一致を示す。
• 両モデルとも、三つの主要な相対論的補正が明確に現れる：近日点移行、円軌道半径の減少、および軌道離心率の増加。
• ラグランジュ形式はベクトル解析の手法と同等であり、事前に相対論の知識がなくても学部生の物理学科学生が理解可能である。
• この方法は、特殊相対性理論が一般相対性理論の効果にどのように寄与するかを物理的に説明可能で、教育的価値の高いフレームワークを提供する。