[論文レビュー] Kernel-based Methods for Stochastic Partial Differential Equations

Qi Ye|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、メッシュフリー近似とクリギング補間を組み合わせることで、高次元確率的偏微分方程式（SPDE）を解くためのカーネルベースの手法を提案する。正定値カーネルを用いてソボレフ空間に確率測度を導入することで、ガウス過程を構築し、well-posedなカーネルベースの近似解が得られる。数値的検証では、ウェンドランドおよびマテルンカーネルを用いて、確率的ポisson方程式および熱方程式に対して有効であることが示された。

ABSTRACT

This article gives a new insight of kernel-based (approximation) methods to solve the high-dimensional stochastic partial differential equations. We will combine the techniques of meshfree approximation and kriging interpolation to extend the kernel-based methods for the deterministic data to the stochastic data. The main idea is to endow the Sobolev spaces with the probability measures induced by the positive definite kernels such that the Gaussian random variables can be well-defined on the Sobolev spaces. The constructions of these Gaussian random variables provide the kernel-based approximate solutions of the stochastic models. In the numerical examples of the stochastic Poisson and heat equations, we show that the approximate probability distributions are well-posed for various kinds of kernels such as the compactly supported kernels (Wendland functions) and the Sobolev-spline kernels (Matérn functions).

研究の動機と目的

• 複雑な境界条件を伴う高次元SPDEを、メッシュフリー手法で解く挑戦に応える。
• 統一されたカーネルベースの確率的枠組みを通じて、メッシュフリー近似とクリギング補間を統合する。
• 正定値カーネルを用いてソボレフ空間上にガウス確率変数を定義することで、カーネルベースの手法を決定論的データから確率的データへ拡張する。
• 時間的および空間的ホワイトノイズを伴うSPDEのカーネルベース近似について、理論的かつ数値的基盤を提供する。
• ウェンドランドおよびマテルン型のコンパクトサポート付き（Wendland）およびソボレフスプライン（Matérn）タイプの異なるカーネルに対して、本手法の頑健性を示す。

提案手法

• 正定値カーネルを用いて、ソボレフ空間に確率測度を誘導し、ガウス過程の定義を可能にする。
• 点評価や微分作用素などの有界線形汎関数をソボレフ空間上に定義し、正規確率変数を生成する。
• 再生核ヒルベルト空間における補間問題の解としてカーネルベース推定子を構築し、再生性を活用してグローバル最適性を達成する。
• クリギング補間技術を統合し、ガウス過程モデリングにより局所最適な予測を実現する。
• ノイズをカーネル誘導共分散を持つガウス過程としてモデル化することで、加法的ノイズを伴うSPDEに本手法を適用する。
• ハルトン点およびフラーゲ関数を用いた数値実験により、収束速度と誤差挙動の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーネルベースの手法を決定論的データから確率的データへ拡張することは、確率的枠組みに埋め込むことで可能か？
• RQ2 メッシュフリー近似とクリギング補間は、一様なカーネルベースの理論的構造の下でどのように統合可能か？
• RQ3 カーネルおよび定義域にどのような条件を課すと、SPDEに対するカーネルベース近似解がwell-posedになるか？
• RQ4 手動による誤差証明なしに、パワー関数を用いてカーネルベース推定子の収束挙動を予測可能か？
• RQ5 ウェンドランドおよびマテルンなどの異なるクラスのカーネルは、確率的PDE解の近似において、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• 確率的ポアソン方程式および熱方程式に対するカーネルベース近似解は、ウェンドランドおよびマテルン関数を含むさまざまなカーネルにおいてwell-posedであることが確認された。
• カーネルベース推定子のパワー関数が、正確な収束速度をよく追跡しており、自動誤差推定が可能であることが示された。
• 本手法は非滑らかな領域や非滑らかなカーネルに対しても適応可能であり、強い正則性仮定を緩和可能であることが示唆された。
• 理論的枠組みにより、メッシュフリー近似とクリギングが、カーネル誘導確率測度の下で同等の定式化を持つことが示され、統合された。
• 数値結果から、カーネルベース推定子が誤差挙動を知的に学習でき、手動による解析的証明への依存が軽減されることを示した。
• 本手法は非線形モデルおよびレヴィノイズへ自然に拡張可能であり、ガウスホワイトノイズを超えた広範な応用可能性を示唆している。