[論文レビュー] Kernel Estimator and Bandwidth Selection for Density and its Derivatives: The kedd Package

Arsalane Chouaib Guidoum|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Statistical Methods and Inference参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

kedd Rパッケージは、カーネル密度推定およびその導関数を包括的かつオブジェクト指向的に扱うフレームワークを提供し、AMISE、交差検証の変種（UCV、BCV、CCV、MCV、TCV）を含む高度なバンド幅選択法と、複数のカーネル関数のサポートを備えています。S3モデルオブジェクトを用いることで、非パラメトリック密度推定および導関数推定を正確かつ柔軟に、かつ使いやすく実行でき、拡張性と可視化が可能になります。

ABSTRACT

The kedd package providing additional smoothing techniques to the R statistical system. Although various packages on the Comprehensive R Archive Network (CRAN) provide functions useful to nonparametric statistics, kedd aims to serve as a central location for more specifically of a nonparametric functions and data sets. The current feature set of the package can be split in four main categories: compute the convolutions and derivatives of a kernel function, compute the kernel estimators for a density of probability and its derivatives, computing the bandwidth selectors with different methods, displaying the kernel estimators and selection functions of the bandwidth. Moreover, the package follows the general R philosophy of working with model objects. This means that instead of merely returning, say, a kernel estimator of rth derivative of a density, many functions will return an object containing, it's functions are S3 classes (S3method). The object can then be manipulated at one's will using various extraction, summary or plotting functions. Whenever possible, we develop a graphical user interface of the various functions of a coherent whole, to facilitate the use of this package.

研究の動機と目的

• 一貫したインターフェース設計を備えた、非パラメトリック密度推定および導関数推定のための統合的で使いやすいRパッケージの不足を解消すること。
• 密度関数のr次導関数のための幅広いバンド幅選択法（AMISE、UCV、BCV、CCV、MCV、TCV）を実装すること。
• カーネル推定量とバンド幅選択器を統合したS3オブジェクト指向フレームワークを提供し、一貫した抽出、要約、プロット操作を可能にすること。
• ガウス、エパニコニコフ、一様、三角、トライウェイト、トライキューブ、バイウェイト、コサインなどの複数のカーネル関数をサポートし、解析的導関数と畳み込みを備えること。
• グラフィカルインターフェースと統合された可視化ツールを用いて、バンド幅選択関数とカーネル特性の可視化を促進し、使いやすさを向上させること。

提案手法

• S3クラスを用いてカーネル推定量とバンド幅選択器をカプセル化し、抽出、要約、プロット関数を通じて一貫したオブジェクト指向操作を可能にします。
• ガウスカーネルに対してはエルミート多項式を用いた解析的計算によりカーネル導関数を実装し、他のカーネルについては数値的手法を適用します。
• カーネル畳み込みを、導関数カーネルの積の数値積分により計算し、交差検証基準に不可欠な要素を提供します。
• 複数のバンド幅選択器を適用：AMISE（漸近的平均二乗誤差）、UCV（不偏交差検証）、BCV（偏り付き交差検証）、CCV（完全交差検証）、MCV（修正交差検証）、TCV（トリムド交差検証）。
• r次導関数のカーネルの式を用います：$ K^{(r)}(x) = \frac{d^r}{dx^r} K(x) $ およびその畳み込み：$ K^{(r)} * K^{(r)}(x) = \int_{\mathbb{R}} K^{(r)}(x) K^{(r)}(x-y) dy $。
• TCV基準を用います：$ \mathrm{TCV}(h,r) = \frac{\mathrm{R}(K^{(r)})}{n h^{2r+1}} + \frac{(-1)^r}{n(n-1)h^{2r+1}} \sum_{i \neq j} \varphi^{(r)}\left(\frac{X_j - X_i}{h}\right) $、ここで $ \varphi^{(r)}(c) = \left[K^{(r)} * K^{(r)} - 2K^{(2r)} \cdot 1(|c| > c_n / h^{2r+1}) \right](c) $、$ c_n = 1/n $ です。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S3オブジェクト指向原則に従った一貫性のあるフレームワークを用いて、カーネル密度推定およびその導関数をサポートする拡張性のあるRパッケージをどのように設計できるか？
• RQ2 AMISE、UCV、BCV、CCV、MCV、TCVといったバンド幅選択法の中で、密度関数のr次導関数推定において最も優れた性能を示すのはどれか？
• RQ3 ガウス、エパニコニコフ、一様、など異なるカーネル関数は、密度および導関数推定量の精度と安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 バンド幅選択が、特に多峰性を持つ分布の密度導関数の可視化と解釈に与える影響は何か？
• RQ5 グラフィカルユーザーインターフェースは、応用研究者にとって、高度な非パラメトリック密度推定手法のアクセス性と使いやすさを向上させられるか？

主な発見

• keddパッケージは、密度関数のr次導関数のための7つのバンド幅選択器（AMISE、UCV、BCV、CCV、MCV、TCV、MLCV）を実装しており、バイモーダルデータセットの0次導関数（密度）に対してh.tcvはバンド幅0.257を返します。
• 1次導関数（r=1）ではTCV法がバンド幅0.510を選択しており、導関数推定には密度推定よりもより強いスムージングが必要であることが示されています。
• 2次導関数（r=2）ではバンド幅0.656、3次導関数（r=3）では0.745が選択され、高次導関数では分散が高くなるため、期待通りにバンド幅が次第に増加していることがわかります。
• パッケージのS3オブジェクトシステムにより、バンド幅、推定量、要約のシームレスな抽出が可能であり、h.mcv や h.tcv といった関数は最適バンド幅と最小基準値の両方を返します。
• TCV法は3次導関数において最小基準値-3.962を達成しており、トリムド交差検証基準下での推定誤差の最小化において優れた性能を示しています。
• パッケージは、ガウスカーネルの1次導関数やその畳み込みの可視化をサポートしており、これらはバンド幅選択器の挙動を理解する上で重要です。