[論文レビュー] Kernel(s) for Problems With no Kernel: On Out-Trees With Many Leaves

Henning Fernau, Fedor V. Fomin+4 more|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、極値的組合せを用いて $O(k^3)$ サイズの最初の多項式カーネルを根付き $k$-リーフ出ツリーに確立する。一方で、多項式階層が崩壊しない限り $k$-リーフ出ツリーには多項式カーネルが存在しないことを証明する。本稿は、困難な問題に対して $n$ 個の独立した $O(k^3)$ カーネルが存在することを示すことにより、many-to-one とチューリングカーネル化の間の新しい分離を提案する。

ABSTRACT

The {\sc $k$-Leaf Out-Branching} problem is to find an out-branching (i.e. a rooted oriented spanning tree) with at least $k$ leaves in a given digraph. The problem has recently received much attention from the viewpoint of parameterized algorithms {alonLNCS4596,AlonFGKS07fsttcs,BoDo2,KnLaRo}. In this paper we step aside and take a kernelization based approach to the {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} problem. We give the first polynomial kernel for {\sc Rooted $k$-Leaf-Out-Branching}, a variant of {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} where the root of the tree searched for is also a part of the input. Our kernel has cubic size and is obtained using extremal combinatorics. For the {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} problem we show that no polynomial kernel is possible unless polynomial hierarchy collapses to third level %$PH=Σ_p^3$ by applying a recent breakthrough result by Bodlaender et al. {BDFH08} in a non-trivial fashion. However our positive results for {\sc Rooted $k$-Leaf-Out-Branching} immediately imply that the seemingly intractable the {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} problem admits a data reduction to $n$ independent $O(k^3)$ kernels. These two results, tractability and intractability side by side, are the first separating {\it many-to-one kernelization} from {\it Turing kernelization}. This answers affirmatively an open problem regarding "cheat kernelization" raised in {IWPECOPEN08}.

研究の動機と目的

• 根付き $k$-リーフ出ツリーのカーネル化複雑性を解明すること、これは有向グラフのパラメータ化アルゴリズム分野における重要な問題である。
• 多項式カーネルが存在しない問題であっても、複数の独立したカーネルによる効率的なデータ削減が可能かどうかを調査すること。
• パラメータ化計算複雑性における many-to-one カーネル化とチューリングカーネル化の間の分離を確立すること。
• 『カーネル化の裏技』のフレームワークを提供すること、すなわち、1つの巨大なカーネルに代えて $n$ 個の独立した多項式カーネルを用いること。

提案手法

• 極値的組合せと削減規則を用いて、根付き $k$-リーフ出ツリーに対してサイズ $O(k^3)$ の多項式カーネルを開発する。
• $k$-リーフ出ツリーへの非自明な削減を、すべての可能な根をテストすることによって実行する。
• 『きれいな柳のグラフ』に基づく構成を用いて出ツリーをシミュレートし、$b_{\text{max}}$ 個のリーフを持つ単一のインスタンスに削減する。
• サイクルに基づく構成を用いて、$n$ 個の独立した根付き $k$-リーフ出ツリーインスタンスを1つの $k$-リーフ出ツリーインスタンスに統合する。
• Bodlaender ら [5] の下界フレームワークを適用し、$k$-リーフ出ツリーには多項式カーネルが存在しない（$PH = \Sigma_p^3$ でない限り）ことを示す。
• カーネル化されたインスタンスを $k$-リーフ出ツリーに戻して、$k$-リーフ出ツリーに多項式カーネルが存在するならば矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式カーネルが存在しない問題であっても、$n$ 個の独立した多項式カーネルが存在する可能性はあるか？
• RQ2 パラメータ化計算複雑性において、many-to-one カーネル化とチューリングカーネル化の間に分離が存在するか？
• RQ3 理論的非効率性にもかかわらず、困難な問題に対して複数の小さなカーネルが存在することは、実用的可解性を示唆するか？
• RQ4 Bodlaender ら [5] のフレームワークを、$|I|^{O(1)}$ 個の独立した多項式カーネルを除外するように拡張可能か？
• RQ5 他の自然な問題にも、この『カーネル化の裏技』的挙動が見られるか？

主な発見

• 根付き $k$-リーフ出ツリーは、極値的組合せと削減規則を用いて、サイズ $O(k^3)$ の多項式カーネルを有する。
• $k$-リーフ出ツリーには多項式カーネルが存在しない（多項式階層が $\Sigma_p^3$ に崩壊しない限り）、$k$-リーフ出ツリーへの削減により示された。
• $n$ 個の独立した $O(k^3)$ カーネルは、困難な $k$-リーフ出ツリー問題に対する効率的な前処理を可能にするチューリングカーネル化の一種を提供する。
• サイクルを用いた柳のグラフによる構成により、$n$ 個の根付きインスタンスから1つの $k$-リーフ出ツリーインスタンスを構築することで、正しさが保証され、各成分におけるリーフ数が保存される。
• 本稿は、『カーネル化の裏技』に関する未解決問題に肯定的に答え、$n$ 個の独立した多項式カーネルが many-to-one カーネル化の下界を回避できることを示した。
• 本結果により、many-to-one カーネル化とチューリングカーネル化の間の厳密な分離が確立され、後者の方が特定の問題に対して厳密に強力であることが示された。