[論文レビュー] Kernels of discrete convolutions and subdivision operators

Tomas Sauer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多次元における離散畳み込みおよび定常サブディビジョン作用素のカーネルが、多変数ローレンツ多項式の共通零点の重複度によって決定される指数多項式であることを確立している。これは、ゼロ次元イデアルに対するグレブナーの重複度理論を用いて、1次元古典的結果を多次元へと拡張したものである。

ABSTRACT

We consider kernels of discrete convolution operators or, equivalently, homogeneous solutions of partial difference operators and show that these solutions always have to be exponential polynomials. The respective polynomial space in connected directly though somewhat intricately to the multiplicity of the common zeros of certain multivariate polynomials, a concept introduced by Gröbner in the description of kernels of partial differential operators with constant coefficients. These results can are then used to determine the kernels of stationary subdivision operators as well.

研究の動機と目的

• ℤ^s 上の離散畳み込み作用素のカーネルを指数多項式空間として特徴づけること。
• 1次元古典的畳み込みカーネル構造に関する結果を多次元へと拡張すること。
• ゼロ次元イデアルに対するグレブナーの重複度理論を用いて、高次元におけるカーネル構造を記述すること。
• サブディビジョン作用素の記号の対称的零点を用いて、定常サブディビジョン作用素のカーネルを特徴づけること。
• サブディビジョン記号の対称的零点とそれらに由来するカーネル構造との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 畳み込み作用素の記号、すなわちローレンツ多項式 h*(z) を用いて、作用素を h*(τ⁻¹) として表現する。ここで τ はシフト作用素である。
• h*(τ⁻¹)c = 0 の解と h*(z) の零点の双対性を適用し、指数列 e_θ がカーネルに属するための必要十分条件が h*(θ⁻¹) = 0 であることを見出す。
• 零点に重複度がある場合の解の構造を記述するために、ゼロ次元イデアルに対するグレブナーの重複度理論を導入する。
• D-不変多項式部分空間およびそのアニュレーターを分析するため、内積 (f,g) = (f(D)g)(0) を定義する。
• z ↦ z^Ξ の変換を用いて、周期性と対称性を介してサブディビジョン作用素と畳み込み作用素を関連づける。
• サブディビジョン記号 a* の対称的零点が、関連する a_ξ* 多項式の共通零点に対応することを確立し、カーネルの特徴づけを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限なサポートを持つマスクを持つ ℤ^s 上の離散畳み込み作用素のカーネルの正確な構造は何か？
• RQ2 多変数ローレンツ多項式の共通零点の重複度は、同次線形差分方程式の解の形をどのように決定するか？
• RQ3 多次元における定常サブディビジョン作用素のカーネルは、その記号を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 サブディビジョン作用素の記号における対称的零点の役割は、カーネルを決定づけるものか？
• RQ5 対称的零点の重複度は、カーネル列における多項式成長の次数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の ℤ^s 上の離散畳み込み作用素のカーネルは、記号に現れる零点の重複度によって決定される指数多項式からなる。
• 記号 h*(z) を持つ畳み込み作用素に対して、カーネルは θ ∈ Θ における e_θ · Π_{k_θ−1} の直和に同型である。ここで k_θ は θ⁻¹ における零点の重複度である。
• 定常サブディビジョン作用素 S_a のカーネルは ⨁_{θ∈Θ} P_θ e_θ で与えられ、ここで P_θ は次数 k_θ の多項式空間であり、θ^−Ξ⁻¹ が a* において重複度 k_θ の対称的零点である限り成り立つ。
• サブディビジョン記号 a* の対称的零点は、ξ ∈ Ξ に対して関連する a_ξ* 多項式の共通零点と一対一に対応する。
• 記号 a* における対称的零点 θ^−Ξ⁻¹ の重複度は、その点におけるすべての k_θ 次以下の微分が 0 に等しいことと同値である。
• z ↦ z^Ξ の変換により、周期性を介してサブディビジョンカーネル問題が畳み込みカーネル問題に還元され、グレブナーの重複度理論の適用が可能になる。