[論文レビュー] Kernels of polarizations of abelian varieties over finite fields

Everett W. Howe|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体上のアーベル多様体の同一型が主極小化可能多様体を含むための基準を、グローテンディーク群内の2階捩れ障害要素 $ I_{\text{C}} $ を用いて確立する。$ I_{\text{C}} = 0 $ であることは、そのような多様体が存在することと同値であり、また、ワイル数にやや穏やかな条件が課せられるとき、すべての単純な奇数次元のアーベル多様体が主極小化可能多様体と同一型であることを示している。

ABSTRACT

Suppose $C$ is an isogeny class of abelian varieties over a finite field $k$. In this paper we give a partial answer to the question of which finite group schemes over $k$ occur as kernels of polarizations of varieties in $C$. We show that there is an element $I_C$ of a finite two-torsion group that determines which Jordan-Hölder isomorphism classes of finite commutative group schemes over $k$ contain kernels of polarizations. We indicate how the two-torsion group can be computed from the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism of the varieties in $C$, and we give some relatively weak sufficient conditions for the element $I_C$ to be zero. Using these conditions, we show that every isogeny class of simple odd-dimensional abelian varieties over a finite field contains a principally polarized variety. As a step in the proofs of these theorems, we prove that if $K$ is a CM-field and $A$ is a central simple $K$-algebra with an involution of the second kind, then every totally positive real element of $K$ is the reduced norm of a positive symmetric element of $A$.

研究の動機と目的

• 有限体上の有限群スキームが、与えられたアーベル多様体の同一型における極小化の核として現れる条件を特定すること。
• 有限体上の与えられた同一型に主極小化可能アーベル多様体が存在するかを特徴づけること。
• 実現可能性を制御する有限2階捩れ群内の障害要素 $ I_{\text{C}} $ を定義し、計算すること。
• $ I_{\text{C}} = 0 $ となる十分条件を提示し、これにより同一型内に主極小化可能多様体が存在することを示すこと。
• すべての単純な奇数次元アーベル多様体が、有限体上では主極小化可能多様体と同一型であることを確立すること。

提案手法

• 同一型 $ \text{C} $ 内の同型の核のグローテンディーク群 $ G(\text{Ker}_{\text{C}}) $ を定義し、フロベニウスおよびベーシェィングエンダモーフィズムから導かれる実/CM-順序 $ R $ に関する $ G(\text{Mod}_R) $ との同型を構成する。
• 到達可能な群スキームの類を含む部分群 $ Z(R) \subset G(\text{Mod}_R) $ を導入し、$ Z(R) $ の有限2階捩れ商 $ \mathcal{B}(R) $ を定義する。
• 核が与えられた群スキームと同型となる極小化が存在するための必要十分条件として、$ \mathcal{B}(R) $ 内の障害要素 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $ を構成する。このとき、群スキームの類が $ \mathcal{B}(R) $ 内で $ I_{\text{C}} $ に写されることが、その核としての極小化の実現可能性を意味する。
• $ I_{\text{C}} = 0 $ であることは、同一型 $ \text{C} $ に主極小化可能多様体が存在することと同値であることを示す。
• CM体の構造と $ K/K^+ $ の拡張における素数の挙動を用いて、$ \mathcal{B}(R) $ を計算し、$ I_{\text{C}} = 0 $ となる条件を特定する。
• $ K $ がCM体であり、かつ $ K/K^+ $ で有限素数が分岐する、または $ \pi - \overline{\pi} $ を割る $ K^+ $ の素数が $ K/K^+ $ で不分岐であるならば、$ I_{\text{C}} = 0 $ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の有限可換群スキームのうち、与えられたアーベル多様体の同一型における極小化の核として現れるものはどれか？
• RQ2 有限体上のアーベル多様体の同一型が主極小化可能多様体を含む条件は何か？
• RQ3 同一型のワイル数から、$ \mathcal{B}(R) $ 内の障害要素 $ I_{\text{C}} $ をどのように計算できるか？
• RQ4 環 $ R = \mathbb{Z}[F, V] $ は、極小化およびその核の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 なぜすべての単純な奇数次元アーベル多様体が有限体上では主極小化可能であるのか？

主な発見

• 同一型 $ \text{C} $ が主極小化可能多様体を含むことは、障害要素 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $ が 0 であることと同値である。
• 全実体 $ K = \mathbb{Q}(\pi) $ を持つ単純同一型では、障害 $ I_{\text{C}} $ は常に 0 であるため、その同一型は主極小化可能多様体を含む。
• $ K $ がCM体であり、$ K/K^+ $ で有限素数が分岐する、または $ \pi - \overline{\pi} $ を割る $ K^+ $ の素数が $ K/K^+ $ で不分岐であるならば、$ I_{\text{C}} = 0 $ であるため、$ \text{C} $ は主極小化可能多様体を含む。
• すべての単純な奇数次元アーベル多様体の同一型は、奇数次元性の条件の下で $ I_{\text{C}} $ の消滅により、主極小化可能多様体を含む。
• $ \mathcal{B}(R) $ は、同一型のワイル数から計算可能であり、特にCM拡張 $ K/K^+ $ における素数の分解を用いて特定できる。
• 証明は、重要な代数的結果に依拠している：CM体 $ K $ の任意の正の元は、第二種の対合をもつ中心単純 $ K $-代数における正の対称元の縮約ノルムとして表せる。