[論文レビュー] Khintchine type inequalities for reduced free products and Applications

Éric Ricard, Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|May 14, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、C*-代数およびvon Neumann代数の縮小自由積における固定長の語に対して、Khintchine型不等式を確立し、長さ$d$の語の部分空間への射影が、$d$に関して線形に成長するノルムで完全有界であることを証明する。これらの結果を応用して、正確性と完全収縮的近似性質（CCAP）が縮小自由積に関して安定することを示し、特に、定数1の弱アーベル性を有する自由群の自由積が、依然として定数1の弱アーベル性を保つことを証明する。

ABSTRACT

We prove Khintchine type inequalities for words of a fixed length in a reduced free product of $C^*$-algebras (or von Neumann algebras). These inequalities imply that the natural projection from a reduced free product onto the subspace generated by the words of a fixed length $d$ is completely bounded with norm depending linearly on $d$. We then apply these results to various approximation properties on reduced free products. As a first application, we give a quick proof of Dykema's theorem on the stability of exactness under the reduced free product for $C^*$-algebras. We next study the stability of the completely contractive approximation property (CCAP) under reduced free product. Our first result in this direction is that a reduced free product of finite dimensional $C^*$-algebras has the CCAP. The second one asserts that a von Neumann reduced free product of injective von Neumann algebras has the weak-$*$ CCAP. In the case of group $C^*$-algebras, we show that a free product of weakly amenable groups with constant 1 is weakly amenable.

研究の動機と目的

• 縮小自由積における$C^*$-代数およびvon Neumann代数の固定長$d$の語へのKhintchine型不等式の拡張を図ること。
• 長さ$d$の語の部分空間への射影が、$d$に関して線形に成長するノルムで完全有界であることを確立すること。
• これらの不等式を応用して、特に正確性と完全収縮的近似性質（CCAP）の近似性質が縮小自由積に関して安定することを証明すること。
• 群$C^*$-代数および単射von Neumann代数の自由積における弱アーベル性およびCCAPの保存に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• C*-代数の縮小自由積における長さ$d$の語に対して、定数$2d+1$を伴うBuchholzの不等式の自由積版を証明する。
• 特にHaagerupテンソル積および行／列ヒルベルト空間を用いた作用素空間論的手法を用いて、自由積の構造を分析する。
• Khintchine型不等式を適用して、$d$次均一成分への射影がノルム$O(d)$で完全有界であることを示す。
• モジュラーHaagerupテンソル積の普遍性を用いて、不等式をアーマラメート化された場合に拡張する。
• 関連するHaagerupテンソル積の1-正確性を証明することで、正確性が縮小自由積に関して保存されることを確立する。
• ノルムが$d$に関して線形に依存することを活用して、有限次元$C^*$-代数のCCAPの安定性および単射von Neumann代数の弱-* CCAPの安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 縮小自由積における$C^*$-代数の長さ1から任意の固定長$d$へのKhintchine型不等式の拡張は可能か？
• RQ2 長さ$d$の語の部分空間への射影は完全有界であるか？そのノルムは$d$に関してどのように依存するか？
• RQ3 完全収縮的近似性質（CCAP）は、$C^*$-代数およびvon Neumann代数の縮小自由積に関して保持されるか？
• RQ4 定数1の弱アーベル性を持つ離散群の自由積は、依然として弱アーベル性を保つか？
• RQ5 Khintchine不等式および作用素空間論的手法を用いて、縮小自由積における正確性の安定性を証明できるか？

主な発見

• 縮小自由積における固定長$d$の語が生成する部分空間への射影は、ノルムが$2d+1$以下で完全有界であり、これは$d$に関して線形に成長する。
• Haagerup-Pisierの不等式の自由積版が、任意の長さ$d$に拡張され、上界定数は$2d+1$となる。
• 有限次元$C^*$-代数の縮小自由積は完全収縮的近似性質（CCAP）を有する。
• 正規状態に関して単射von Neumann代数の縮小自由積は弱-* CCAPを有する。
• 定数1の弱アーベル性を有する離散群の自由積は、依然として定数1の弱アーベル性を保つ。
• Khintchine不等式およびHaagerupテンソル積の1-正確性を用いて、縮小自由積における正確性の安定性が確立される。