[論文レビュー] Khovanov homology for virtual links using cobordisms

Daniel Tubbenhauer|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、バーナタンのジョーンズ多項式のコボルディズムに基づくカテゴライゼーションを、一般化された古典的ケーブルホモロジーと一致するトポロジカル複体を用いて、仮想的リンクへと拡張している。この複体は、特徴値2の環上での新しい拡張を可能にし、古典的でないバージョン、例えばバーナタンのZ/2-リンクホモロジーの2つの非同値な方法による拡張も可能にする。この構成は組み合わせ的であり、Mathematicaプログラムによる計算が可能で、仮想的リンクホモロジーのための非向き付きTQFTの完全分類を許容する。

ABSTRACT

We extend Bar-Natan's cobordism based categorification of the Jones polynomial to virtual links. Our topological complex allows a direct extension of the classical Khovanov complex ($h=t=0$), the variant of Lee ($h=0,t=1$) and other classical link homologies. We show that our construction allows, over rings of characteristic two, extensions with no classical analogon, e.g. Bar-Natan's $\mathbb{Z}/2$-link homology can be extended in two non-equivalent ways. Our construction is computable in the sense that one can write a computer program to perform calculations, e.g. we have written a Mathematica based program. Moreover, we give a classification of all unoriented TQFTs which can be used to define virtual link homologies from our topological construction. Furthermore, we prove that our extension is combinatorial and has semi-local properties. We use the semi-local properties to prove an application, i.e. we give a discussion of Lee's degeneration of virtual homology.

研究の動機と目的

• バーナタンのジョーンズ多項式のコボルディズムに基づくカテゴライゼーションを仮想的リンクへ一般化すること。
• 古典的ケーブルホモロジーとその変種（リー理論やバーナタンのZ/2理論を含む）を統一するトポロジカル複体を構成すること。
• 提案された構成を介して仮想的リンクホモロジーを定義するのに使える、すべての非向き付きTQFTを分類すること。
• 拡張されたホモロジー理論の計算可能性と組み合わせ的性質を確立すること。
• リーの退化現象が仮想的設定で可能となるような、半局所的性質の確立。

提案手法

• コボルディズム形式を仮想的交差を含む複体構成に拡張することで、バーナタンのコボルディズムフレームワークを仮想的リンクに適応すること。
• 特徴値2の環上でのトポロジカル複体を定義し、古典的類似物のない新しいホモロジー拡張を可能にすること。
• 組み合わせ的アプローチを用いて構成の計算可能性を保証し、Mathematicaベースのプログラムによる実装を行うこと。
• 複体の半局所的性質を応用し、リーの退化現象のような退化現象を分析すること。
• 代数的および位相的制約を通じて、構成と整合するすべての非向き付きTQFTを分類すること。
• ホモロジー理論が仮想的リードマイスター移動に関して不変であり、仮想的リンク図の構造を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーナタンのコボルディズムに基づくジョーンズ多項式のカテゴライゼーションは、一貫的かつ計算可能な方法で仮想的リンクへ拡張可能か？
• RQ2 このトポロジカル構成を介して仮想的リンクホモロジーを定義するのに使える、すべての非向き付きTQFTの完全な集合は何か？
• RQ3 特徴値2の環上に、古典的類似物のない新しいホモロジー拡張は存在するか？もしあるならば、非同値なバージョンはいくつ存在するか？
• RQ4 複体の半局所的性質は、仮想的設定におけるリーの退化現象の研究をどのように支援するか？
• RQ5 拡張されたホモロジー理論はアルゴリズム的に実装可能か？その計算可能性はどの程度か？

主な発見

• 提案された構成は、古典的ケーブルホモロジー、リー理論、バーナタンのZ/2理論を仮想的リンクへ一元化するトポロジカル複体により一般化される。
• 特徴値2の環上では、バーナタンのZ/2-リンクホモロジーの2つの非同値な拡張が可能であり、古典的対応物のない新しい不変量を示している。
• ホモロジー理論は組み合わせ的かつ計算可能であり、明示的計算のためのMathematicaによる実装が可能である。
• 複体の半局所的性質が証明され、仮想的設定におけるリーの退化現象の分析に用いられている。
• 構成と整合するすべての非向き付きTQFTの完全分類が達成され、許容可能な不変量の完全な代数的特徴付けが得られている。
• 理論は仮想的リードマイスター移動に関して不変であり、仮想的リンク不変量として適切に定義されている。