[論文レビュー] Killing-Yano tensors, non-standard supersymmetries and an index theorem

J.W. van Holten|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 1999

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、両方の時空にキリング・ヤノテンソルを持つ、ねじれを有する時空とない時空の間の幾何学的双対性を確立し、これらの時空上でのディラック粒子が非標準的 supersymmetry を示すことを示している。両対称な時空におけるディラック作用素のインデックスの関係を導出し、トポロジカル不変量を用いてねじれのある時空におけるインデックスを、ねじれのない対応する時空からの計算が可能になる。

ABSTRACT

The existence of Killing-Yano tensors on space-times can be probed by spinning particles. Specifically, Dirac particles possess new fermionic constants of motion corresponding to non-standard supersymmetries on the particle worldline. A geometrical duality connects space-times with Killing-Yano structure, but without torsion, to other space-times with Killing-Yano structure and torsion. A relation between the indices of the Dirac operators on the dual space-times allows to express the index on the space-time with torsion in terms of that of the space-time without torsion.

研究の動機と目的

• 曲がった時空におけるスピンする粒子のための新しいフェルミオン的保存量を生成するキリング・ヤノテンソルの役割を調査すること。
• キリング・ヤノ構造を有するねじれのある時空とない時空の間の幾何学的双対性を確立すること。
• 双対な時空におけるディラック作用素のインデックスのトポロジカル関係を導出すること、特にねじれのある時空におけるインデックスをねじれのない対応するものに関連付けること。
• キリング・ヤノテンソルの存在から生じる非標準的 supersymmetry が、粒子の世界線でどのように現れるかを示すこと。
• ねじれのある時空におけるディラック作用素のインデックスを、関連するねじれのない時空におけるインデックスを用いて計算するための手法を提供すること。

提案手法

• ディラック粒子の世界線作用素を用いて、キリング・ヤノテンソルに関連する新しいフェルミオン的対称性を同定する。
• 非標準的 supersymmetry の概念をディラック作用素に適用し、これらの対称性が閉じた共形キリング・ヤノテンソルの存在と関連していることを示す。
• ねじれのないキリング・ヤノ構造を持つ時空を、同じ構造を持つが非ゼロのねじれを持つ別の時空に写像する双対変換を構築する。
• アティヤ＝シンガーのインデックス定理を活用して、双対な時空におけるディラック作用素の解析的インデックスを関係づけるインデックス理論を用いる。
• トポロジカル不変量を用いて、ねじれのある時空におけるインデックスを、ねじれのない時空におけるインデックスの関数として表す公式を導出する。
• この双対性がディラック作用素のスペクトルおよびゼロモードの存在に与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空におけるキリング・ヤノテンソルは、ディラック粒子の世界線理論においてどのように非標準的 supersymmetry を生じさせるか？
• RQ2 キリング・ヤノテンソルとねじれを有する時空、およびねじれのない時空との間の幾何学的関係は何か？
• RQ3 ねじれのある時空におけるディラック作用素のインデックスは、ねじれのない双対時空におけるインデックスから決定可能か？
• RQ4 キリング・ヤノ構造を有する時空におけるフェルミオンのスペクトルを特徴付けるために、ディラック作用素のインデックスは果たす役割は何か？
• RQ5 ねじれのある時空とねじれのない時空の間の双対性は、ディラック系の物理的対称性をどのように保存または変換するか？

主な発見

• 時空にキリング・ヤノテンソルが存在することにより、ディラック粒子の世界線作用素における新しいフェルミオン的対称性が生じ、非標準的 supersymmetry に対応する。
• キリング・ヤノテンソルとねじれを有する時空、および同じテンソルを持つがねじれのない時空との間の幾何学的双対性が確立された。
• ねじれのある時空におけるディラック作用素のインデックスは、トポロジカルな公式を介してねじれのない双対時空におけるインデックスと関係づけられる。
• ねじれのある時空におけるインデックスは、ねじれのない時空におけるインデックスから計算可能であり、ねじれが存在する場合のスペクトル的性質を特定するための手法が得られる。
• この双対性はキリング・ヤノテンソルの構造を保存し、両方の時空間でインデックス理論的情報を移譲可能にする。
• 結果として、双対性条件が満たされる限り、ねじれの存在がディラック作用素のインデックスを変えることはないことが示され、深いトポロジカル不変性が浮き彫りになる。