[論文レビュー] Kinetic description of thermalization dynamics in weakly interacting quantum systems

Michael Stark, Marcus Kollar|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、相互作用を急激に変化させた弱い相互作用をもつフェルミオン系 Hubbard モデルにおける前熱化状態と量子ボルツマン力学の統一的理論を構築する。全時間スケールにわたって有効な完全な運動方程式を導出し、系が摂動論と一般化ギブズ集団によって記述される前熱化状態から出発し、最終的に平衡状態に至ることを示した。運動量分布は平衡予測と一致し、緩和率はフェルミ液体理論に整合している。

ABSTRACT

After a sudden disruption, weakly interacting quantum systems first relax to a prethermalized state that can be described by perturbation theory and a generalized Gibbs ensemble. Using these properties of the prethermalized state we perturbatively derive a kinetic equation which becomes a quantum Boltzmann equation in the scaling limit of vanishing interaction. Applying this to interaction quenches in the fermionic Hubbard model we find that the momentum distribution relaxes to the thermal prediction of statistical mechanics. For not too large interaction, this two-stage scenario provides a quantitative understanding of the time evolution leading from the initial pure via a metastable prethermal to the final thermal state.

研究の動機と目的

• 前熱化と遅い時間スケールでの熱化をカバーする弱い相互作用をもつ量子系の熱化ダイナミクスの統一的理論的枠組みを提供すること。
• すべての時間スケールに有効な運動方程式を導出すること、特に前熱化領域と量子ボルツマン方程式（QBE）領域を含むこと。
• 無限次元格子におけるフェルミオン Hubbard モデルにおいて、力学的不安定な前熱化状態から平衡熱状態への遷移を定量的に記述すること。
• QBE領域における緩和ダイナミクスを、特にフェルミ面近傍の準粒子寿命に結びつける平衡多体理論と接続すること。
• 数値的に正確な非平衡 DMFT データと比較し、熱的予測および緩和率について定量的整合性を確認すること。

提案手法

• 前熱化状態が一般化ギブズ集団と摂動論によって記述されることを踏まえ、弱い相互作用系に対する運動方程式を摂動的に導出する。
• 相互作用をゼロの極限にスケーリングすることで、遅い時間領域に有効な量子ボルツマン方程式（QBE）を導出する。
• 動的平均場理論（DMFT）をフレームワークとして用い、無限次元格子におけるフェルミオン Hubbard モデルに全運動方程式を適用する。
• QBE領域における運動エネルギーの保存を用い、ソーマーフェルト展開により最終的熱状態の有効温度を決定する。
• 分布関数を熱的フェルミ関数に置き換えることでフェルミ面における緩和率を分析し、非平衡からのずれに対する率方程式を導出する。
• QBEの予測を、運動量分布およびフェルミ面での不連続性を含む、数値的に正確な非平衡 DMFT データと比較し、理論の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統一的運動論理論は、弱い相互作用をもつ量子系における前熱化と熱化をどのように同時に記述できるか？
• RQ2 エネルギーおよび運動量分布の観点から、前熱化状態と最終的熱状態との間の定量的関係は何か？
• RQ3 QBE領域におけるフェルミ面での緩和率は、平衡準粒子寿命とどのように比較できるか？
• RQ4 全運動方程式は、短時間における前熱化ダイナミクスと、長時間における量子ボルツマン挙動を両方再現できるか？
• RQ5 最終状態の有効温度は、平衡統計力学の予測とどの程度一致するか？

主な発見

• 全運動方程式は、短時間における前熱化ダイナミクスと、長時間における量子ボルツマン方程式（QBE）領域を、両方とも数値的に正確な DMFT データと一致して捉えている。
• 最終的熱状態の有効温度はソーマーフェルト展開により正確に予測され、$ T = aU $ と表され、$ U = 0.75 $ のとき $ a = 0.20 $ となり、シミュレーション結果と極めて良好に一致している。
• フェルミ面における緩和率は $ \bar{\rho}_{\text{F}} = \frac{1}{2} \bar{\rho}_{\text{F}} $ であり、非平衡緩和の漸近的時定数は、$ T^2 U^2 $ の一次項において、平衡準粒子寿命 $ \tau_{\text{F}} = 2 / \bar{\rho}_{\text{F}} $ と完全に一致している。
• フェルミ面不連続性 $ \bar{\rho}_{\text{F}} $ は指数関数的に $ \bar{\rho}_{\text{F}} \to \bar{\rho}_{\text{F}} $ に緩和し、$ \bar{\rho}_{\text{F}} = 0.038 U^4 $ となる。これは率方程式からの理論的予測 $ a^2 = 0.040 $ と良好に一致している。
• 長時間において運動量分布は統計力学の熱的予測と一致し、相互作用がやや小さい範囲では熱化が確認された。
• 理論は、弱い相互作用をもつフェルミオン系における二段階熱化現象（前熱化に続く量子ボルツマン緩和）を定量的かつ統一的に記述している。