[論文レビュー] Kinetic maximal $L^p$-regularity with temporal weights and application to quasilinear kinetic diffusion equations

Lukas Niebel, Rico Zacher|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階コルモゴロフ方程式に対して時間的重み付き運動的 maximal $L^p$-正則性を導入し、解が重み付きLebesgue空間に属し、非一様Besovトレース空間値で時間連続であることを証明する。主な貢献は、変数係数運動的方程式に対してこの正則性を確立し、非線形運動的拡散方程式の局所解の存在を示す応用を行うことにある。

ABSTRACT

We introduce the concept of kinetic maximal $L^p$-regularity with temporal weights and prove that this property is satisfied for the (fractional) Kolmogorov equation. We show that solutions are continuous with values in the trace space and prove, in particular, that the trace space can be characterized in terms of anisotropic Besov spaces. We further extend the property of kinetic maximal $L^p_μ$-regularity to the Kolmogorov equation with variable coefficients. Finally, we show how kinetic maximal $L^p_μ$-regularity can be used to obtain local existence of solutions to a class of quasilinear kinetic equations and illustrate our result with a quasilinear kinetic diffusion equation.

研究の動機と目的

• 線形および非線形運動的偏微分方程式に対して、時間的重み付き運動的 maximal $L^p$-正則性という新しい正則性枠組みを構築すること。
• 古典的正則性理論を運動的設定に拡張するために、運動的方程式の解のトレース空間を非一様Besov空間で特徴付けること。
• 標準理論が正則性の欠如に起因する非正則な半群によって失敗するため、変数係数を有するコルモゴロフ方程式への maximal $L^p$-正則性理論の拡張を達成すること。
• 開発された正則性理論を応用し、非線形運動的拡散方程式の解の局所存在を証明すること。
• 時間的重み付き運動的方程式の解について、即時滑らか化性およびトレース空間値で時間連続性を確立すること。

提案手法

• 運動的および分数階拡散正則性と時間的重みを同時に捉えるため、空間 $\mathbb{E}_\mu(0,T) = \mathcal{T}_\mu^p((0,T);L^q(\mathbb{R}^{2n})) \cap L^p_\mu((0,T);H_v^{\beta,q}(\mathbb{R}^{2n}))$ を導入する。
• 重み付き $L^p$-推定を $\partial_t u + v\cdot\nabla_x u$ および $(-\Delta_v)^{\beta/2}u$ に対して確立することで、分数階コルモゴロフ方程式に対する運動的 maximal $L^p_\mu(L^q)$-正則性を証明する。
• $\mathbb{R}^{2n+1}$ 上の同次群構造を用いて運動的作用素 $\partial_t + v\cdot\nabla_x$ を分析し、非一様スケーリングに対して不変な推定を導出する。
• トレース空間 $X_{\gamma,\mu}$ を非一様Besov空間 $B_{qp}^{\mu-1/p, \alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ として特徴付ける（$\alpha = (3/2,\dots,3/2,1/2,\dots,1/2)$）、これにより解の正則性と関数空間理論を結びつける。
• 非一様Besov空間上での擬微分作用素の有界性を保証するため、Mikhlin乗数定理を用いることで、分数階ラプラシアンおよび関連作用素の連続性を確保する。
• トレース空間の連続性および埋め込み定理を活用し、重み付き正則性空間 $\mathbb{E}_\mu(0,T)$ 内での固定点法を用いて、非線形運動的方程式の局所解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階コルモゴロフ方程式に対して、$p,q \in (1,\infty)$ および $\mu \in (1/p,1]$ の下で、時間的重み付き運動的 maximal $L^p$-正則性を確立できるか？
• RQ2 運動的方程式の解のトレース空間を非一様Besov空間でどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 変数係数を有するコルモゴロフ方程式に対し、運動的 maximal $L^p_\mu$-正則性は拡張可能か？
• RQ4 運動的 maximal $L^p_\mu$-正則性を用いて、非線形運動的拡散方程式の解の局所存在を証明できるか？
• RQ5 時間的重み付き運動的方程式の解について、即時滑らか化性およびトレース空間値で時間連続性が果たす役割は何か？

主な発見

• 分数階コルモゴロフ方程式に対して、$p,q \in (1,\infty)$ および $\mu \in (1/p,1]$ の下で運動的 maximal $L^p_\mu(L^q)$-正則性が成立し、以前の結果を一般 $p,q$ および重み付きノルムに拡張する。
• 運動的方程式の解は、トレース空間 $X_{\gamma,\mu} = (L^q(\mathbb{R}^{2n}), D(A))_{\mu-1/p,p}$ 値で時間連続であり、これは非一様Besov空間 $B_{qp}^{\mu-1/p, \alpha}(\mathbb{R}^{2n})$（$\alpha = (3/2,\dots,3/2,1/2,\dots,1/2)$）として特定される。
• トレース空間 $X_{\gamma,\mu}$ は $\mu - 1/p > 1/2 + 2n/q$ ならば $C_0(\mathbb{R}^{2n})$ に埋め込まれ、解の点ごとの連続性を保証する。
• 分数階ラプラシアン $(-\Delta_v)^{\beta/2}$ は $B_{qp}^{s,\alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ から $B_{qp}^{s-\beta/2,\alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ への連続写像であり、非一様構造を保存する。
• $\mu \in (1/p,1]$ の下で、空間 ${{}^\mathrm{kin}B}}_{qp}^{\mu-1/p,2}(\mathbb{R}^{2n})$ は $\mu - 1/p > 1/2 + 2n/q$ ならば $C_0^1(\mathbb{R}^{2n})$ に埋め込まれ、解のトレースの高次正則性を示す。
• 非線形運動的拡散方程式の解の局所存在は、空間 $\mathbb{E}_\mu(0,T)$ 内での固定点法により確立され、運動的 maximal $L^p_\mu$-正則性枠組みに依存する。