[論文レビュー] Kinetic theory models for the distribution of wealth: power law from overlap of exponentials

Marco Patriarca, Anirban Chakraborti+2 more|RePEc: Research Papers in Economics|Apr 21, 2005

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、多エージェント運動的交換モデルにおける富分布のべき乗法的尾部が、本質的なメカニズムから生じるのではなく、異なる固定保存傾向（quenched saving propensities）を持つエージェントに対応する個々のガンマ分布の重ね合わせから生じることを説明している。その結果得られる有効な分布は、次元数が変化するマクスウェル＝ボルツマン分布に類似し、異なる保存傾向に起因する指数的減衰の重なりによって、尾部でパレート指数 α = 1 を示す。

ABSTRACT

Various multi-agent models of wealth distributions defined by microscopic laws regulating the trades, with or without a saving criterion, are reviewed. We discuss and clarify the equilibrium properties of the model with constant global saving propensity, resulting in Gamma distributions, and their equivalence to the Maxwell-Boltzmann kinetic energy distribution for a system of molecules in an effective number of dimensions $D_λ$, related to the saving propensity $λ$ [M. Patriarca, A. Chakraborti, and K. Kaski, Phys. Rev. E 70 (2004) 016104]. We use these results to analyze the model in which the individual saving propensities of the agents are quenched random variables, and the tail of the equilibrium wealth distribution exhibits a Pareto law $f(x) \propto x^{-α-1}$ with an exponent $α=1$ [A. Chatterjee, B. K. Chakrabarti, and S. S. Manna, Physica Scripta T106 (2003) 367]. Here, we show that the observed Pareto power law can be explained as arising from the overlap of the Maxwell-Boltzmann distributions associated to the various agents, which reach an equilibrium state characterized by their individual Gamma distributions. We also consider the influence of different types of saving propensity distributions on the equilibrium state.

研究の動機と目的

• 多エージェント経済モデルで観察されるパレートのべき乗法的尾部の起源を理解すること。
• 固定（クエンチド）ランダム変数として扱われる個々の保存傾向が、巨視的べき乗法的挙動をどのように導くかを明確にすること。
• 富交換モデルと統計力学、特に D 次元におけるマクスウェル＝ボルツマン分布との間の物理的類似性を確立すること。
• 保存傾向分布の形状が富分布のべき乗指数およびカットオフに与える影響を分析すること。

提案手法

• 各エージェントが固定（クエンチド）された保存傾向 λ を持つように、富交換を確率的過程としてモデル化する。
• 運動論を用いて、各エージェントの個々の λ にパrameter化されたガンマ分布として、平衡富分布を導出する。
• 全富分布が、異なる λ 値に対応するこれらの個々のガンマ分布の重ね合わせ（重なり）であることを示す。
• 変数 D における運動エネルギー分布と富分布との間のマッピングを、ξ = K/T へのスケーリングによって確立する。
• D 次元におけるマクスウェル＝ボルツマン分布が、ガンマ分布 γ_{D/2}(ξ) に一致することを示し、統計力学と富動力学との関連を結ぶ。
• 重ね合わせ分布の尾部挙動を分析し、λ が一様分布に従う場合に、f(x) ∝ x^{−α−1} のべき乗法則が得られ、α = 1 となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる保存傾向を持つ個々のガンマ分布の重ね合わせが、富分布のべき乗法的尾部をどのように生じさせるか？
• RQ2 多エージェント交換モデルにおける富分布のパレート指数 α = 1 の物理的起源は何か？
• RQ3 べき乗法則の出現が、個々の保存傾向の分布にどの程度依存するか？
• RQ4 富交換と D 次元におけるマクスウェル＝ボルツマン統計との類似性は、観察された分布形状をどのように説明するか？

主な発見

• 富分布のべき乗法的尾部は、単一のメカニズムから生じるのではなく、異なる保存傾向を持つエージェントに対応する複数の指数的（ガンマ）分布の重なりから生じる。
• 固定保存傾向 λ を持つエージェントの平衡富分布はガンマ分布であり、これは D = 2λ + 2 次元におけるマクスウェル＝ボルツマン分布に対応する。
• 保存傾向 λ が [0,1) 上で一様分布に従う場合、ガンマ分布の重ね合わせはパレートのべき乗法則（指数 α = 1）を示す。
• べき乗法則尾部のノイズおよびカットオフ挙動は、λ 分布の粗さに直接的に依存し、滑らかな分布はより良好なべき乗法則スケーリングをもたらす。
• このモデルは、経済的交換と統計力学との間のより深い類似性を確立し、定数 λ モデルにとどまらない、異種系へのマクスウェル＝ボルツマン類似性を拡張する。
• 有効次元 D_λ = 2λ + 2 は、運動系における自由度の観点から保存傾向の物理的解釈を提供する。