[論文レビュー] Kingman, category and combinatorics

Ν. H. Bingham, A. J. Ostaszewski|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 45被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、位相的および二位相的手法を用いて、Kingmanのスケルトン極限定理を離散的状況からBaire/可測的状況へ一般化し、'有理的'スケルトンの理論を確立し、van der Waerdenの定理に類似する組合せ的結果を示している。可測的およびカテゴリー的文脈において、Kestelman–Borwein–DitorおよびBergelson–Hindman–Weissの定理を拡張し、非劣化または非零集合が任意に長い等差数列を任意に小さな公差で含むことを示している。

ABSTRACT

Kingman's Theorem on skeleton limits---passing from limits as $n o \infty $ along $nh$ ($n\in \mathbb{N}$) for enough $h>0$ to limits as $t o \infty $ for $t\in \mathbb{R}$---is generalized to a Baire/measurable setting via a topological approach. We explore its affinity with a combinatorial theorem due to Kestelman and to Borwein and Ditor, and another due to Bergelson, Hindman and Weiss. As applications, a theory of `rational' skeletons akin to Kingman's integer skeletons, and more appropriate to a measurable setting, is developed, and two combinatorial results in the spirit of van der Waerden's celebrated theorem on arithmetic progressions are given.

研究の動機と目的

• 整数倍の極限に関するKingmanの定理を、位相的手法を用いてBaire/可測的状況における連続的極限へ拡張すること。
• 可測的文脈に適した、Kingmanの整数的スケルトンに類似した'有理的'スケルトンの理論を確立すること。
• カテゴリーおよび測度の文脈において、Kestelman–Borwein–DitorおよびBergelson–Hindman–Weissの定理を一般化すること。
• 0に本質的に集積する任意のBaire/可測集合が、その有限部分和がすべて集合内にあるような列を含むことを示し、加法的組合せ論の結果を拡張すること。

提案手法

• 密度位相を用いてBaireおよび可測的状況を一様に扱う二位相的アプローチを採用する。
• 逐次的構成により、0に本質的に集積する集合における列を、シフトフィルター性質およびほぼ完備性を応用して構成する。
• 完全な距離化可能性および同値な完全距離を用いて、構成された列における部分和の収束を保証する。
• Baireカテゴリー定理およびSteinhaus型の議論を用いて、集合の一般性および可測性の性質を導出する。
• 離散的および連続的極限行動の橋渡しに、本質的連接性および位相的正則変動の概念を活用する。
• 直径の制御を伴う帰納的選択により、コンパクトで非零または非劣化な部分集合における列の構成に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kingmanのスケルトン極限に関する定理を、開集合からBaireおよび可測的状況へ、位相的道具を用いてどのように一般化できるか？
• RQ2 密度位相は、極限定理におけるBaireおよび可測的アプローチを統合するために果たす役割は何か？
• RQ3 可測的文脈において、Kingmanの整数的スケルトンに類似した'有理的'スケルトンの理論を構築できるか？
• RQ4 非劣化または非零集合は、任意に小さな公差を持つ任意に長い等差数列を必ず含むのか？
• RQ5 0に本質的に集積する集合が、その有限部分和がすべて集合内に留まるような列を含むための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、密度位相を用いた二位相的枠組みにより、Kingmanの定理をBaireおよび可測的状況へ一般化したことを確立している。
• Kingmanの整数的スケルトンに類似したが、可測的解析に適した'有理的'スケルトンの理論を構築した。
• Kestelman–Borwein–Ditorの定理に対して、'連続的'形式での新しい証明を与え、可測的状況での結果を強化した。
• 任意のBaire/可測集合が0に本質的に集積するならば、そのすべての有限部分和が集合内にあるような列が存在することを示し、Bergelson–Hindman–Weissの定理を拡張した。
• この結果から、ℝをBaire/可測集合に有限分割する場合、そのうちのいずれかのセルが、任意に小さな公差を持つ任意に長い等差数列を含むことが示唆される。
• 構成は、完全な距離の下での直径制御を伴う帰納的選択に依拠しており、部分和の収束および集合への属性を保証する。