[論文レビュー] Kingman's coalescent and Brownian motion

Julien Berestycki, Nathanaël Berestycki|ArXiv.org|Apr 9, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動の上昇部分と局所時間、および上昇部分の高さ順序付けを用いてキングマンの共通化過程の新規構成を提示し、時間0に近いブロックサイズの多分形スペクトルを精確に特徴づける。主な貢献は、α→2の極限においてβ共通化過程のスペクトルの極限として生じない、スペクトルの濃厚部分がキングマンの共通化過程の小時間挙動に与える新たな知見を明らかにしたことである。

ABSTRACT

We describe a simple construction of Kingman's coalescent in terms of a Brownian excursion. This construction is closely related to, and sheds some new light on, earlier work by Aldous and Warren. Our approach also yields some new results: for instance, we obtain the full multifractal spectrum of Kingman's coalescent. This complements earlier work on Beta-coalescents by the authors and Schweinsberg. Surprisingly, the thick part of the spectrum is not obtained by taking the limit as $α o 2$ in the result for Beta-coalescents mentioned above. Other analogies and differences between the case of Beta-coalescents and Kingman's coalescent are discussed.

研究の動機と目的

• ブラウン運動の上昇部分と局所時間に基づく単純なキングマンの共通化過程の構成を提供すること。
• キングマンの共通化過程の小時間挙動、特に異常サイズのブロックサイズの分布を分析すること。
• 時間0に近いキングマンの共通化過程の全多分形スペクトルを特定すること。
• α→2の極限におけるスペクトル挙動の観点から、キングマンの共通化過程とβ共通化過程の違いを明確にすること。

提案手法

• レベル1より上にあるブラウン運動の上昇部分を用い、その最大高さの順序でブロックを構成する。
• 個体が同じ上位レベルの上昇部分に属する場合に同じブロックに属するように、個体を上昇部分に割り当てるプロセスΠᵤを定義する。
• レベルxにおける総局所時間Zₓ = L(ζ, x)を用い、∫ₛ¹ 4/Zᵤ du = tにより定義される時間変換U(t)を導入する。
• ケステン＝スティグムの martingale と測度μおよびその正規化μ♯を用いて、共通化過程と連続的ランダム木との対応関係を確立する。
• 離散時間のガルトン＝ウォーソン木の結果を応用し、指数分布に従う総局所時間から得られるパrameter a=1, r=1, τ=1を用いて多分形スペクトルを導出する。
• 上昇部分の局所時間とユール木構造との関係を活用し、異常サイズのブロックを持つ線の集合のハウスドルフ次元を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動の上昇部分から、小時間における多分形構造を露わにする方法でキングマンの共通化過程をどのように構成できるか？
• RQ2 時間0に近いキングマンの共通化過程におけるブロックサイズの全多分形スペクトルは何か、特にγ≠1のt^γサイズのブロックについてどうか？
• RQ3 なぜキングマンの共通化過程におけるスペクトルの濃厚部分が、α→2の極限においてβ共通化過程のスペクトルの極限として現れないのか？
• RQ4 共通化過程の構造は、連続的ランダム木の計量構造および境界に誘導される測度とどのように関係しているか？

主な発見

• レベルuより上にある上昇部分を用いて構成されたプロセス(Πᵤ)は、∫ₛ¹ 4/Zᵤ du = tにより定義される時間変換U(t)を経て、キングマンの共通化過程と同一分布をとる。
• t→0のとき、ブロック頻度F(t)は2F(t)/t →d E + E′を満たし、EとE′はi.i.d.でExp(1)に従う。
• γ<1のブロックサイズt^γの多分形スペクトルは、limsup μ(B(ξ,e⁻ⁿ))/m⁻ⁿnの極限として特徴づけられ、0≤θ≤1に対して次元a−rθ=1−θをとる。
• γ>1（異常小ブロック）の場合、スペクトルは薄い部分として記述され、dim{ξ: limsup −log μ(B(ξ,e⁻ⁿ))/n = θ} = a(a/θ(1+τ)−τ) = 1(1/θ(2)−1) で、1≤θ≤2に対して成り立つ。
• スペクトルの濃厚部分は、α→2の極限においてβ共通化過程のスペクトルの極限として生じないため、スケーリング挙動における根本的な違いを示している。
• 従来の研究で用いられた補助的補題（例：[7]の補題24）を回避するため、レベルを1に固定し、決定的時間変換を用いることで、この構成が可能となった。