[論文レビュー] Kirchhoff Index As a Measure of Edge Centrality in Weighted Networks: Nearly Linear Time Algorithms

Huan Li, Zhongzhi Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2017

Graph theory and applications被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、辺の重み変更に対するキルホフ指数の感度に基づく、重み付きネットワークにおける辺の重要性を測る新たなグローバル指標である$\theta$-キルホフエッジセントラリティを導入する。本稿は、すべての辺について$\epsilon$-近似する、ほぼ線形時間のアルゴリズムを初めて提示し、理論的保証を伴って大規模な重み付きネットワークのスケーラブルな解析を可能にする。

ABSTRACT

Most previous work of centralities focuses on metrics of vertex importance and methods for identifying powerful vertices, while related work for edges is much lesser, especially for weighted networks, due to the computational challenge. In this paper, we propose to use the well-known Kirchhoff index as the measure of edge centrality in weighted networks, called $θ$-Kirchhoff edge centrality. The Kirchhoff index of a network is defined as the sum of effective resistances over all vertex pairs. The centrality of an edge $e$ is reflected in the increase of Kirchhoff index of the network when the edge $e$ is partially deactivated, characterized by a parameter $θ$. We define two equivalent measures for $θ$-Kirchhoff edge centrality. Both are global metrics and have a better discriminating power than commonly used measures, based on local or partial structural information of networks, e.g. edge betweenness and spanning edge centrality. Despite the strong advantages of Kirchhoff index as a centrality measure and its wide applications, computing the exact value of Kirchhoff edge centrality for each edge in a graph is computationally demanding. To solve this problem, for each of the $θ$-Kirchhoff edge centrality metrics, we present an efficient algorithm to compute its $ε$-approximation for all the $m$ edges in nearly linear time in $m$. The proposed $θ$-Kirchhoff edge centrality is the first global metric of edge importance that can be provably approximated in nearly-linear time. Moreover, according to the $θ$-Kirchhoff edge centrality, we present a $θ$-Kirchhoff vertex centrality measure, as well as a fast algorithm that can compute $ε$-approximate Kirchhoff vertex centrality for all the $n$ vertices in nearly linear time in $m$.

研究の動機と目的

• 重み付きネットワークにおける有効でグローバルに感度のあるエッジセントラリティ測度の欠如に対処すること。
• 大規模ネットワークにおける正確なキルホフ指数に基づくエッジセントラリティ計算の計算不能性を克服すること。
• ほぼ線形時間で実行され、理論的に正確なエッジセントラリティ推定のための効率的で保証可能なアルゴリズムを開発すること。
• フレームワークを頂点セントラリティおよびマルチエッジセントラリティ推定へ拡張すること。

提案手法

• $\theta$-キルホフエッジセントラリティを定義する。これは、辺の重みを$\theta w(e)$に低下させたときのキルホフ指数の増加として定義され、構造的重みを捉える。
• ウッドベリーの行列恒等式を用いて、キルホフ指数の増分を、ラプラシアンの一般化逆行列とランク1更新行列を含むトレースとして表現する。
• ランダムスケッチングとレバレッジスコアサンプリングを用いて、行列積のトレースを効率的に近似する。
• ランダムベクトルの反復的サンプリングを用いて、二次形式$\mathbf{y}^\top \mathbf{C}_v \mathbf{y}$を推定し、高い確率でトレースを近似する。
• 集中不等式を用いて複数の近似を組み合わせ、高い確率で$\epsilon$-精度を達成する。
• 頂点セントラリティを定義するために、頂点に接続するすべての辺を削除したときのキルホフ指数の変化として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キルホフ指数は、重み付きネットワークにおけるグローバルで感度のあるエッジセントラリティ測度として用いられる可能性があるか？
• RQ2 理論的誤差境界を伴って、すべての辺についてほぼ線形時間でキルホフエッジセントラリティを近似することは可能か？
• RQ3 提案された$\theta$-キルホフセントラリティは、エッジバウンダリティやスパニングエッジセントラリティといった既存の局所的または部分的測度と比較して、識別力に優れているか？
• RQ4 このフレームワークは、頂点セントラリティおよびマルチエッジセントラリティ推定へ拡張可能か？
• RQ5 異なる$\theta$の範囲において、さまざまなアルゴリズム的アプローチの理論的および実用的トレードオフは何か？

主な発見

• 実験的評価において、提案された$\theta$-キルホフエッジセントラリティは、エッジバウンダリティ、スパニングエッジセントラリティ、およびコンセプトフローセントラリティと比較して優れた識別力を示す。
• 本稿では、すべての$m$個の辺について$\epsilon$-近似を計算する2つのほぼ線形時間のアルゴリズムを提示し、$O(m \cdot \text{poly}(\log n, \epsilon^{-1}))$の時間で実行可能である。
• ランダムスケッチングとトレース推定技術（ランダムベクトルに基づく）を用いて、高い確率で$\epsilon$-精度を達成する。
• 頂点セントラリティの手法は、辺の数$m$に関してほぼ線形時間で、すべての$n$個の頂点について$\epsilon$-近似を達成する。
• 理論的解析により、近似誤差が高確率で$\epsilon$以内に抑えられることを示し、集中不等式と行列摂動理論に依拠している。
• このフレームワークは、エッジ集合のセントラリティ推定へ拡張可能であり、$k$個の最も影響力のあるエッジを効率的に特定する道を開く。