[論文レビュー] KK-theory and Spectral Flow in von Neumann Algebras

Jens Kaad, Ryszard Nest+1 more|ArXiv.org|Jan 11, 2007

Advanced Operator Algebra Research被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ノルム閉じたイデアルを含むフォン・ノイマン代数における自己共役作用素の経路に対する $K$-理論値をとるスペクトルフロー不変量を導入し、数値的スペクトルフローを一般化する。Kasparov積の公式を確立し、ディラック作用素とそのユニタリ共役作用素間のフォン・ノイマンスペクトルフローが、ユニタリとスペクトル三重項クラスのKasparov積に等しいことを示し、非可換幾何学における $KK$-理論、スペクトルフロー、インデックス理論を統合する。

ABSTRACT

We present a definition of spectral flow relative to any norm closed ideal J in any von Neumann algebra N. Given a path D(t) of selfadjoint operators in N which are invertible in N/J, the spectral flow produces a class in K_0(J). In the case when N is semifinite, the numerical spectral flow of the path coincides with the value of trace on the associated K-class. Given a semifinite spectral triple (A,H,D) relative to a semifinite von Neumann algebra N, we construct a class [D] in KK^1(A,N') such that, for a unitary u in A, the von Neumann spectral flow between D and u*Du is equal to the Kasparov product of [u] and [D].

研究の動機と目的

• ノルム閉イデアルを含むフォン・ノイマン代数における自己共役作用素の経路に対する $K$-理論値をとるスペクトルフロー不変量を構築すること。
• 半有限スペクトル三重項の理論を、一般のフォン・ノイマン代数に拡張するためにフォン・ノイマンスペクトル三重項を導入すること。
• スペクトル三重項からKasparov類を構成し、その $K_1$-類とのペアリングがスペクトルフローを与えることにより、スペクトルフローと $KK$-理論の関係を確立すること。
• トレースを用いて $C^*$-スペクトルフローと数値的スペクトルフローと関連づけることで、スペクトルフロー不変量を精緻化すること。
• スペクトルフローが $K$-理論によって制約されることを統一的な枠組みで提示し、数値的測定値のみに依存するものよりも、より強い解析的および位相的制約を提供すること。

提案手法

• ノルム閉イデアル $J$ を持つフォン・ノイマン代数 $N$ に対して、$K$-理論における境界写像を用いて $K_0(J)$-値のインデックス理論を定義する。
• ノルム閉イデアル $J$ を法とする可逆作用素の経路に対して、フォン・ノイマンスペクトルフローを $[N(S)] - [N(S^*)] riangleq eta[ ilde{u}] o K_0(J)$ としてクラスとして構成する。
• フォン・ノイマンスペクトル三重項を、ディラック作用素とヒルベルトモジュール上の $*$-代数の作用を備えた $(N, J)$ 上で定義される、半有限スペクトル三重項の一般化として導入する。
• スペクトル三重項から $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$ におけるKasparov類 $[ ilde{ ho}] riangleq [ ho] times ilde{ ho} imes ext{sign}( ilde{D})$ を構成する。
• ユニタリ $u o u^*Du$ に対するフォン・ノイマンスペクトルフローが、$KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$ 内のKasparov積 $[u] times [ ilde{ ho}]$ に等しいことを証明する。
• トレース $ au$ を用いた $ au$-有限部分代数への制限により、$C^*$-スペクトルフローとフォン・ノイマンスペクトルフローを関連づけ、両者をトレースを通じて数値的スペクトルフローと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマン代数の文脈において、スペクトルフローは、数値的不変量を越えて $K$-理論値をとる不変量にどのように一般化できるか？
• RQ2 ノルム閉イデアル $J$ を法とする自己共役作用素の経路のスペクトルフローと $K$-理論群 $K_0(J)$ の間の明確な関係は何か？
• RQ3 ユニタリ $u$ とスペクトル三重項クラス $[ ilde{ ho}]$ のKasparov積が、フォン・ノイマン設定下でどのようにスペクトルフローを再現するか？
• RQ4 $C^*$-スペクトルフローと数値的スペクトルフローは、$K$-理論値をとるフォン・ノイマンスペクトルフローとどのように精緻化されたり関連づけられるか？
• RQ5 $K$-理論値をとるスペクトルフローは、特に半有限フォン・ノイマン代数において、数値的スペクトルフローの取りうる値を制約することができるか？

主な発見

• ノルム閉イデアル $J$ を法とする $N$ 内の可逆な自己共役作用素の経路に対するフォン・ノイマンスペクトルフローは、$K$-理論における境界写像を通じて $K_0(J)$ のクラスとして定義される。
• $(N, au)$ に関して半有限スペクトル三重項 $( ho, H, ilde{D})$ に対して、$KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$ 内のクラス $[ ilde{ ho}] riangleq [ ho] times ilde{ ho} imes ext{sign}( ilde{D})$ が得られる。
• $ ilde{D}$ と $u^* ilde{D}u$ 間のフォン・ノイマンスペクトルフローは、$KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$ 内のKasparov積 $[u] times [ ilde{ ho}]$ に等しい。
• $C^*$-スペクトルフローは、$ au$-有限で $ au$-単位的である部分代数 $ ho(A)$ に対する $K$-理論群 $K_0( ho(A))$ への制限によって定義され、フォン・ノイマンスペクトルフローを精緻化する。
• トレース $ au$ を用いて計算される数値的スペクトルフローは、$ ext{sf}_{ ext{num}}( ilde{D}, u^* ilde{D}u) = au ig( ext{Tr}( ext{sign}( ilde{D}) - ext{sign}(u^* ilde{D}u)) ig) $ という式により $K$-理論値をとるスペクトルフローと関連づけられ、$K$-理論不変量と整合的である。
• $K$-理論値をとるスペクトルフローは、特に半有限の場合、数値的スペクトルフローの取りうる値を制約し、後者は事前に任意の実数を取り得るが、前者的にはその範囲が制限される。