[論文レビュー] Kleene Algebra with Observations

Tobias Kappé, Paul Brunet+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Formal Methods in Verification被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、テストの逐次的合成とその論理積を区別する、Kleene代数に観測を追加したKleene代数 with Observations (KAO) を導入する。これは、並列実行に拡張されたKleene代数 with Tests (KAT) における根本的な欠陥を解消するためのものである。著者らは、非決定的有限オートマトンに基づく言語モデルを用いて、KAOの健全かつ完全な等式理論を確立し、非決定的有限オートマトンにおける同型性を用いた同値性の決定手続きを提供する。

ABSTRACT

Kleene algebra with tests (KAT) is an algebraic framework for reasoning about the control flow of sequential programs. Generalising KAT to reason about concurrent programs is not straightforward, because axioms native to KAT in conjunction with expected axioms for concurrency lead to an anomalous equation. In this paper, we propose Kleene algebra with observations (KAO), a variant of KAT, as an alternative foundation for extending KAT to a concurrent setting. We characterise the free model of KAO, and establish a decision procedure w.r.t. its equational theory.

研究の動機と目的

• 本稿は、Kleene代数 with Tests (KAT) が並列プログラムの推論と不適合である理由を、異常な等式 p·e·p ≡ 0 に起因するものとして特定する。
• KATがテストの論理積を逐次的合成と同一視することにより、インタリーブがテストの結果を変える並列環境で誤った振る舞いが生じることを指摘する。
• 本稿の目的は、観測的テストと逐次的合成を分離することで、一貫性のある並列拡張を可能にする、KAOを基礎とする代数的フレームワークを提案することである。
• 本稿の目標は、KAOの完全な等式理論を確立し、KAO式の同値性を判定する決定手続きを構築することである。

提案手法

• 本稿は、KAOをKleene代数に観測のための新たな演算を追加した拡張として定義し、テストを観測可能な状態の集合として解釈する。
• KAOのための言語モデルを、非決定的有限オートマトン (NFA) に基づいて定義し、式はアクションとアトムの語の言語を表す。
• KAOの等式理論は、導出に基づくアプローチと同型性を用いた同型性までの同型性を用いて、この言語モデルに関して健全かつ完全であることを証明する。
• KAO同値性の決定手続きは、NFAの言語同値性への還元により確立され、NFA同値性チェックのための標準的アルゴリズムを活用する。
• 証明戦略は、関心の分離を実現する：コアKAO公理は導出とオートマトンを用いて処理され、標準Kleene代数の結果が議論を完成させる。
• 同型性を用いた同型性までの同型性の使用により、効率的な同値性チェックが可能となり、導出構築における推移性の性質により、早期終了が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並列環境においてKATで生じる異常な等式 p·e·p ≡ 0 を回避できるKleene代数の変種を構築できるか？
• RQ2 そのような変種に対して、条件分岐と並列処理の両方をサポートする健全かつ完全な等式理論が存在するか？
• RQ3 KAO式の同値性はアルゴリズム的に決定可能か？ もしそうならば、その決定手続きの計算的根拠は何か？
• RQ4 KAOの新しいフレームワークは、KATと比較して、並列プログラムにおけるテストとプログラム実行の相互作用をどのように異なる方法でモデル化するか？
• RQ5 KAOの決定手続きは、オートマトン理論的技法を用いて効率的に実装可能か？

主な発見

• 本稿は、非決定的有限オートマトンに基づく言語モデルに関して、KAOの等式理論が健全かつ完全であることを証明する。
• KAO同値性は、NFAの言語同値性への還元により決定可能であることが確立され、これは既知の決定可能であることが分かっている。
• 決定手続きは、NFAにおける同型性を用いた同型性までの同型性を介して実装され、そのような同型性が同値性を検証するために構築可能であることを証明する。
• KAOは、観測的論理積と逐次的合成を区別することにより、KATが並列環境で問題を引き起こす異常な等式 p·e·p ≡ 0 を効果的に回避する。
• このアプローチは、関心の明確な分離を実現する：KAO固有の公理は導出とオートマトンを用いて処理され、標準Kleene代数の結果が再利用される。
• このアプローチは拡張可能であり、将来の並列Kleene代数 with Observations (CKAO) の研究の基盤を提供する。CKAOは、sp-pomsetsの言語によって特徴づけられると予想されている。