[論文レビュー] Kleene Algebra with Tests and Coq Tools for While Programs

Damien Pous|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、whileプログラムにおける等式推論の反射的決定手続きを提供する、Kleene代数とテスト（KAT）のCoqライブラリを提示する。形式的検証された完全性、決定手続き、および仮説の削除を形式化することで、自動化されたプログラム同等性の検証、ホーア論理の規則、コンパイラ最適化、および複雑なフローチャートスキームの同等性を可能にする。

ABSTRACT

We present a Coq library about Kleene algebra with tests, including a proof of their completeness over the appropriate notion of languages, a decision procedure for their equational theory, and tools for exploiting hypotheses of a particular shape in such a theory. Kleene algebra with tests make it possible to represent if-then-else statements and while loops in most imperative programming languages. They were actually introduced by Kozen as an alternative to propositional Hoare logic. We show how to exploit the corresponding Coq tools in the context of program verification by proving equivalences of while programs, correctness of some standard compiler optimisations, Hoare rules for partial correctness, and a particularly challenging equivalence of flowchart schemes.

研究の動機と目的

• 命令型プログラムの自動推論を支援する、機械検証済みの形式的Coqライブラリを提供すること。
• ガーディッドストリング言語上でのKAT公理の完全性を形式化し、等式推論の正当に証明可能な決定手続きを開発すること。
• KAT用の反射的タクティクスを統合することで、プログラム検証における自動化を実現し、手動での証明作業を削減すること。
• ペイターソンのフローチャートスキームのような挑戦的なプログラム同等性の検証を、複雑な手動導出を排除することで可能にすること。

提案手法

• 著者らは、Kleene代数とブール代数を組み合わせ、テストからKleene要素へのホモモルフィズムを備えたKATを形式化する。
• 自動化されたKAT式の言語同等性を決定するため、自動機ベースのアルゴリズムを活用した反射的タクティクスを実装する。
• 決定手続きは、形式的正規表現の導出、有限集合、行列表現に基づき構築され、正しさと完全性が保証される。
• ガーディッドストリング言語のモデル上で、有限和、原子、展開定理の基礎的形式化に依拠して完全性の証明を確立する。
• 不要または類似の仮説を削除することで、推論を簡素化するための仮説削除技術を実装する。
• 将来的な関係代数の断片（例えば、逆付きKleene代数やアレゴリーズ）の形式化を支援するように、拡張可能に設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kleene代数とテスト（KAT）の等式理論に対して、Coqで反射的決定手続きを形式的に実装することは可能か？
• RQ2 ガーディッドストリング言語上でのKAT公理の完全性は、Coq内で形式的に証明可能か？
• RQ3 Coqにおける自動化タクティクスは、命令型言語におけるプログラム同等性の証明の複雑さをどの程度軽減できるか？
• RQ4 形式化されたKATライブラリは、標準的なコンパイラ最適化とホーア論理の規則の検証を自動化できるか？
• RQ5 ペイターソンのフローチャートスキームを含む、複雑な既知の証明を簡略化するのに、このライブラリはどの程度効果的か？

主な発見

• Coqライブラリは、ガーディッドストリング言語上でのKAT公理の完全性を形式化し、等式推論の堅固な基盤を提供する。
• 反射的決定手続きは、KAT等式同等性を正しくかつ効率的に検査でき、かつては手作業で大変な作業であった証明の自動化を可能にする。
• ペイターソンのフローチャートスキームのような複雑な例では、複数ページにわたる手動導出を単一のタクティクス呼び出しに置き換えることで、証明長を大幅に短縮する。
• 形式化には、仕様書として4377行、証明として3020行が含まれており、その大部分が完全性と決定手続きに割り当てられている。
• ライブラリはホーア論理の規則やコンパイラ最適化の自動化をサポートし、理論的形式化を超えた実用的有用性を示している。
• ライブラリは拡張可能で公理フリーであり、将来的な関連代数的構造（例：逆付きKleene代数）の形式化を支援するように設計されたコンポONENTを備えている。