[論文レビュー] Kleinian Schottky groups, Patterson-Sullivan measures and Fourier decay

Jialun Li, Frédéric Naud+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、PSL₂(ℂ)におけるZariski-再結合されたクライン群の極限集合上のPatterson-Sullivan測度について、多項式的フーリエ減衰を確立する。これは、Fuchsian設定におけるBourgain-Dyatlovの結果をPSL₂(ℂ)全般に拡張するものである。複素数体ℂ上でのBourgain-Gamburdの和積定理に基づく指数和推定と、表現論および定常測度の正則性を用いた非集中条件の証明により、著者らは測度のフーリエ変換が無限大において多項式的減衰することを示し、これらのフラクタル集合の正のフーリエ次元を確認する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a Zariski dense Kleinian Schottky subgroup of PSL2(C). Let $Λ(Γ)$ be its limit set, endowed with a Patterson-Sullivan measure $μ$ supported on $Λ(Γ)$. We show that the Fourier transform $\widehatμ(ξ)$ enjoys polynomial decay as $\vert ξ\vert$ goes to infinity. This is a PSL2(C) version of the result of Bourgain-Dyatlov [8], and uses the decay of exponential sums based on Bourgain-Gamburd sum-product estimate on C. These bounds on exponential sums require a delicate non-concentration hypothesis which is proved using some representation theory and regularity estimates for stationary measures of certain random walks on linear groups.

研究の動機と目的

• PSL₂(ℂ)におけるZariski-再結合されたクライン群の極限集合上のPatterson-Sullivan測度について、多項式的フーリエ減衰を確立すること。
• Fuchsian設定におけるBourgain-Dyatlovのフーリエ減衰結果を、PSL₂(ℂ)全般の設定に拡張すること。
• 線形群上の定常測度について、表現論と正則性推定を用いて非集中仮説を証明すること。
• このような極限集合が正のフーリエ次元を持つことを示し、Salem型集合の決定的かつ非自明な例を提供すること。

提案手法

• 複素数体ℂ上でのBourgain-Gamburdの和積推定を用い、測度に関連する指数和を評価する。
• 線形群上のランダムウォークの定常測度に関する非集中条件を、表現論と正則性推定を用いて適用する。
• 極限集合上に定義された正の関数列R_nを構成し、それが一様にゼロに収束することを保証することで、測度が定常的でありかつ有限な指数モーメントを持つことを示す。
• Cartan分解を用いて群元の作用素ノルムと幾何的半径r_γを関連づけ、モーメント推定を可能にする。
• 極限集合を二進分解によりシリンダーに分割し、再帰的構成を用いてR_nの値の比を制御する。
• 定常測度νの台の生成する群Γ_νが全群Γに一致することを、古典的な測地線被覆論法により示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSL₂(ℂ)におけるZariski-再結合されたクライン群の極限集合は、多項式的フーリエ減衰を示す測度を有するか？
• RQ2 複素数体ℂ上での和積推定を、非Fuchsian設定におけるPatterson-Sullivan測度の指数和制御に適応可能か？
• RQ3 線形群上の定常測度がフーリエ減衰を保証するために満たすべき非集中条件は何か？
• RQ4 このような極限集合上のPatterson-Sullivan測度のフーリエ変換は、|ξ| → ∞ において |ξ| の負のべき乗で一様に有界か？
• RQ5 Kleinian群の力学を用いて、正のフーリエ次元を持つ決定的かつ非自明なフラクタル集合を構成可能か？

主な発見

• 極限集合Λ_Γ上のPatterson-Sullivan測度μのフーリエ変換は、|ξ| → ∞ において |ŵ(ξ)| = O(|ξ|^{-ε}) を満たす、あるε > 0 が存在する。
• 減衰率εは測度μにのみ依存し、定数Cは近傍𝒰、φのC²ノルム、および群Γに依存する。
• 和積推定に必要な非集中仮説は、表現論と定常測度の正則性推定を用いて検証された。
• 十分小さいε₁ > 0 に対して、指数モーメント∑ν(γ)‖γ‖^ε₁ は有限である。これにより、群作用下での測度の良好性が保証される。
• 定常測度νの台によって生成される群Γ_νは全群Γに一致し、測度が力学的ダイナミクス上で完全に台を持つことが確認された。
• 構成により、1 = ∑ν(γ)f_γ がΛ_Γ上で成り立つ定常測度νが得られ、Patterson-Sullivan測度がν-定常であることが確認された。