[論文レビュー] KMS states for the generalized gauge action on graph algebras

Gilles de Castro, Fernando de L. Mortari|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正のエッジ関数から導かれる条件下で、任意の有向グラフのC*-代数上の一般化されたゲージ作用におけるKMS状態と、頂点C*-代数 $C_0(E^0)$ 上の特定のトレース状態の間の全単射対応を確立する。また、エッジ重みが1より大きい場合の基底状態を特徴づけ、コア代数の帰納的極限構造を用いて、CuntzとCuntz-Krieger代数の既知の結果を無限グラフへ一般化する。

ABSTRACT

Given a positive function on the set of edges of an arbitrary directed graph $E=(E^0,E^1)$, we define a one-parameter group of automorphisms on the C*-algebra of the graph $C^*(E)$, and study the problem of finding KMS states for this action. We prove that there are bijective correspondences between KMS states on $C^*(E)$, a certain class of states on its core, and a certain class of tracial states on $C_0(E^0)$. We also find the ground states for this action and give some examples.

研究の動機と目的

• 有限グラフから任意の有向グラフへのKMS状態分類の一般化を図ること。
• 正のエッジ関数 $c:E^1 \to \mathbb{R}^+$ を用いて $C^*(E)$ 上に一般化されたゲージ作用を定義すること。
• KMS状態、コア代数上の状態、および $C_0(E^0)$ 上のトレース状態の間の全単射対応を確立すること。
• すべてのエッジ $e$ に対して $c(e) > 1$ のとき、一般化された作用における基底状態を特徴づけること。
• CuntzおよびCuntz-Krieger代数におけるKMS状態の既知の結果を無限および非行有限グラフへ拡張すること。

提案手法

• 正のエッジ関数 $c:E^1 \to \mathbb{R}^+$ を用いて $C^*(E)$ 上に一意パラメータ群の自己同型を定義する。
• コア代数 $C^*(E)^\gamma$ の帰納的極限構造を用い、$C^*(E)$ 上の状態と $C_0(E^0)$ 上の状態を関連付ける。
• 逆温度 $\beta$ におけるKMS状態の存在に必要な十分条件を、$C_0(E^0)$ 上のトレース状態 $\tau$ に対して、関数 $\mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) = \sum_{e \in r^{-1}(v)} c(e)^{-\beta} \tau(v)$ を含む条件として確立する。
• KMS状態が、すべての $v \in E^0$ に対して $\mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) \leq \tau(v)$ を満たし、かつ $\sum_{v \in E^0} \mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) = \sum_{v \in E^0} \tau(v)$ を満たすトレース状態 $\tau$ と全単射で対応することを証明する。
• すべての $e$ に対して $c(e) > 1$ である条件により、基底状態を特徴づけ、$\phi(s_\mu s_\nu^*) = 0$ が $|\mu| > 0$ または $|\nu| > 0$ のとき成り立ち、かつ基底状態が特異頂点に台を持つトレース状態と全単射で対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の（無限でもよい）有向グラフに対するグラフC*-代数上での一般化されたゲージ作用におけるKMS状態をどのように分類できるか。
• RQ2 正のエッジ関数 $c:E^1 \to \mathbb{R}^+$ が、与えられた逆温度 $\beta$ におけるKMS状態の存在を保証するための条件は何か。
• RQ3 KMS状態 $C^*(E)$、コア代数 $C^*(E)^\gamma$ 上の状態、および $C_0(E^0)$ 上のトレース状態の間の正確な関係は何か。
• RQ4 一般化されたゲージ作用における基底状態はどのように生じるか。エッジ重みと頂点構造の観点からその特徴づけは何か。
• RQ5 KMS状態の存在が、$c(e)^{-\beta}$ を含む級数の収束に依存する条件は何か。

主な発見

• 一般化されたゲージ作用における $C^*(E)$ 上のKMS状態と、すべての $v \in E^0$ に対して $\mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) \leq \tau(v)$ を満たし、$\sum_{v \in E^0} \mathcal{F}_{c,\beta}(\tau)(v) = \sum_{v \in E^0} \tau(v)$ を満たす $C_0(E^0)$ 上のトレース状態 $\tau$ の間には全単射対応が存在する。
• $c(e) > 1$ がすべての $e$ に対して成り立つとき、状態 $\phi$ が $\sigma$-基底状態であるための必要十分条件は、$|\mu| > 0$ または $|\nu| > 0$ のとき $\phi(s_\mu s_\nu^*) = 0$ であることであり、このような状態は特異頂点に台を持つ $C_0(E^0)$ 上のトレース状態と全単射で対応する。
• $\mathcal{O}_\infty$ の場合、$c(e_n) = a_n > 1$ で $\sum_{n=1}^\infty a_n^{-\beta} = 1$ ならば、各 $\beta \geq \beta_0$ に対して一意のKMS状態が存在し、一意の基底状態が存在する。ここで $\beta_0$ は方程式を満たす。
• 無限個のソースを持つグラフに対して、$\sum_{n=1}^\infty a_n^{-\beta} \tau_{v_n} \leq \tau_{v_0}$ かつ $\sum_{n=1}^\infty a_n^{-\beta} < \infty$ ならば、$\beta \geq \beta_0$ に対してKMS状態が存在し、それらは無限個存在する。
• すべての頂点が特異であるとき、$C_0(E^0)$ 上の任意のトレース状態が基底状態を導くため、基底状態の空間は無限次元である。