[論文レビュー] Knapp-Stein type intertwining operators for symmetric pairs

Jan Möllers, Bent Ørsted+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、再帰的群の対 (G,H) に対する Knapp–Stein 型の交叉作用素を構成し、G と H の球面主系列表現を交差させる明示的な積分核を定義する。主な結果は、これらの作用素の一般的一意性を確立すること—H-交差作用素の空間が高々一様次元であることを示すこと—特にランク1の場合および (GL(4n,ℝ), GL(2n,ℂ)) の対についてである。

ABSTRACT

For a symmetric pair $(G,H)$ of reductive groups we construct a family of intertwining operators between spherical principal series representations of $G$ and $H$ that are induced from parabolic subgroups satisfying certain compatibility conditions. The operators are given explicitly in terms of their integral kernels and we prove convergence of the integrals for an open set of parameters and meromorphic continuation. We further discuss uniqueness of intertwining operators, and for the rank one cases $$ (G,H)=(SU(1,n;\mathbb{F}),S(U(1,m;\mathbb{F}) imes U(n-m;\mathbb{F}))), \qquad \mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}, $$ and for the pair $$ (G,H)=(GL(4n,\mathbb{R}),GL(2n,\mathbb{C})) $$ we show that for a certain choice of maximal parabolic subgroups our operators generically span the space of intertwiners.

研究の動機と目的

• 再帰的群の対 (G,H) に対して、G と H の球面主系列表現間の交差作用素を明示的に構成し、古典的 Knapp–Stein 作用素を一般化すること。
• 小林の対称性破れ作用素プログラムにおける問題1に応えるために、明示的かつ積分核に基づく構成を提供すること。
• 誘導表現間の H-交差作用素の空間を分類し、それが高々一様次元である条件を同定すること。
• 既知の不変三重形式および Juhl 型作用素の結果を、明示的な積分作用素を用いて対称群の対へ拡張すること。
• パラメータの開集合に対して、積分核のメロモルフィックな拡張と収束を確立すること。

提案手法

• ハリシュ・チャンドラの c 関数と交差データを含む明示的な積分核によって定義される特異積分作用素として交差作用素を構成する。
• G のパラボリック部分群 P と H のパラボリック部分群 P_H 間の整合性条件を課し、H への制限のもとで交差構造が保たれるようにする。
• 二重フラッグ多様体と軌道分解の理論を用いて、同次空間 (G×H)/Δ(H) の幾何を分析し、収束条件を導出する。
• リーヴィ部分群の有理的表現と部分群 S′ および S′′ 上の特徴解析を含む表現論的技法を適用し、パラメータ条件を導出する。
• 定理 3.15 を用いて、非ゼロの交差作用素の存在をリーヴィ部分群の表現における特定の特徴の消失と関連付ける。
• 軌道 O の法空間 V の対称冪における既約成分の重みを分析することで、パラメータ ν と ν′ に対する必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G と H の球面主系列表現間の Knapp–Stein 型交差作用素の積分核は、どのパラメータ ν と ν′ に対して収束するか？
• RQ2 I^G(ν) と I^H(ν′) 間の H-交差作用素の空間が高々一様次元である条件は何か？
• RQ3 提案された積分作用素は、特定の対称群の対において、対称性破れ作用素の全空間を一般に生成するか？
• RQ4 積分核は、G×H のテンソル積表現における H-不変分布的ベクトルとどのように関係するか？
• RQ5 非自明な H-交差作用素の存在を保証するパラメータ条件（ν と ν′ の観点から）は何か？

主な発見

• 交差作用素の積分核は、パラメータ ν と ν′ の開集合に対して収束し、全複素パラメータ空間へメロモルフィックに拡張可能である。
• 対 (G,H) = (SU(1,n;𝔽), S(U(1,m;𝔽)×U(n−m;𝔽))) に対して、𝔽 = ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆 の場合、ランク1の場合に作用素は交差作用素の空間を一般に生成する。
• (G,H) = (GL(4n,ℝ), GL(2n,ℂ)) の対に対して、連続的 H-交差作用素 I^G(ν) → I^H(−ν′)′ の空間は、2ν₁+ν′₁, 2ν₁−ν′₁ ∉ (n+2ℤ) かつ ν′₁ ∉ ℤ のとき高々一様次元である。
• 作用素は一般に一意であることが示された：Hom_H(π_ν|_H, τ_ν′) = ℂ·A(α,β) で、α = −(ν′+ρ_H) かつ β = (ν−ρ + ν′+ρ_H)/2 である。
• リーヴィ部分群 S′ 上の特徴 β は |det_C A₁|^{2ν₁−ν′₁−3n} |det_C A₂|^{−ν′₁−n} |det_C A₃|^{−2ν₁−ν′₁+n} で与えられ、パラメータに対する必要な整数条件が導かれる。
• 法空間 V 及びその対称冪 S^r(V_C) の分析により、d₁ と d₃ が偶数でなければならないことが示され、非ゼロの交差作用素のための条件 2ν₁−ν′₁ ∈ n+2ℤ, −ν′₁ ∈ ℤ, −2ν₁−ν′₁ ∈ n+2ℤ が得られる。