[論文レビュー] Knot invariants derived from the equivariant linking pairing

Christine Lescop|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、第一ベッチ数が1である3次元多様体における等長リンクピアリングから導かれる新しい不変量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ を紹介する。この不変量は、配置空間積分と等長立方体構成を用いて定義され、$\mathbb{Q}(x,y)$ に値をとる。この不変量は手術公式を満たし、有理ホモロジー球面上のゼロホモロジーカーブに対して、コンツェビッチ積分のクリッカー有理的リフトの2ループ部分と同値であると予想されている。

ABSTRACT

Let M be a closed oriented 3-manifold with first Betti number one. Its equivariant linking pairing may be seen as a two-dimensional cohomology class in an appropriate infinite cyclic covering of the configuration space of ordered pairs of distinct points of M. We show how to define the equivariant cube Q(M,K) of this Blanchfield pairing with respect to a framed knot K that generates H_1(M;Z)/Torsion. We present the invariant Q(M,K) and some of its properties including a surgery formula. Via surgery, the invariant Q is equivalent to an invariant Q' of null-homologous knots in rational homology spheres, that is conjecturally equivalent to the two-loop part of the Kontsevich integral. We generalize the construction of Q' to obtain a topological construction for an invariant that is conjecturally equivalent to the whole Kricker rational lift of the Kontsevich integral for null-homologous knots in rational homology spheres.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能3次元多様体 $M$ に対して、$H_1(M;\mathbb{Z})/\text{Torsion} \cong \mathbb{Z}$ を満たすとき、等長リンクピアリングを用いて位相的不変量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ を定義すること。
• 配置空間積分と無限サイクリック被覆におけるブランシュタイフピアリングの等長立方体を用いて、この不変量を構成すること。
• 有理ホモロジー球面 $N$ に対して、${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ とカスン＝ウォーカー不変量 $\lambda(N)$ の間の手術公式を確立すること。
• null-homologousなカーブを有理ホモロジー球面上に持つ場合の、全クリッカー有理的リフトの全貌を位相的に再現する不変量を得るために、この構成を一般化すること。
• ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ が第一ベッチ数が1である3次元多様体に対して不変量を誘導し、ランク1の場合に望月の2ループ不変量と同値であることを示すこと。

提案手法

• 等長リンクピアリングを、$M$ の相異なる点の順序付き対の配置空間におけるコホモロジー類として定義し、無限サイクリック被覆に lifted する。
• このピアリングから導かれる2次不変量として、等長立方体 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ を構成し、$\mathbb{Q}(x,y)$ に値をとる。
• 配置空間のコンactification $C_2(M)$ を用いて、リンク形式に双対なサイクル $F_{X}, F_{Y}, F_{Z}$ を定義し、それらの三重交差数を計算する。
• 手術公式を適用する：${\mathcal{Q}}(M\sharp N,\mathbb{K}) = {\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K}) + 6\lambda(N)$、ここで $\lambda(N)$ はウォーカー正規化されたカスン不変量である。
• $\mathbb{K}$ における $0$-手術を通じて、${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ を有理ホモロジー球面上のゼロホモロジーカーブ $\hat{K}$ の不変量 $\hat{{\mathcal{Q}}}$ に再解釈する。
• $\hat{{\mathcal{Q}}}$ を一般化し、ゼロホモロジーカーブに対して、全クリッカー有理的リフトのコンツェビッチ積分と同値であると予想される位相的不変量を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一ベッチ数が1である3次元多様体 $M$ における等長リンクピアリングを用いて、新しい有限型不変量を定義する方法は何か？
• RQ2 有理ホモロジー球面 $N$ との連結和をとったとき、不変量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ とカスン＝ウォーカー不変量 $\lambda(N)$ の関係は何か？
• RQ3 不変量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ は、ゼロホモロジーカーブに対して、コンツェビッチ積分のクリッカー有理的リフトの2ループ部分と同値であるか？
• RQ4 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ の構成を一般化することで、全クリッカー有理的リフトの位相的実現が得られるか？
• RQ5 異なるフレームドカーブ $\mathbb{K}'$ が $H_1(M;\mathbb{Z})/\text{Torsion}$ を生成するとき、${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K}') - {\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ の生成するベクトル空間は何か？

主な発見

• ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ は適切に定義されており、$\mathbb{Q}(x,y)$ に値をとり、${\mathcal{Q}}(S^1 \times S^2, S^1 \times u) = 0$ を満たす。
• 手術公式は、${\mathcal{Q}}(M\sharp N,\mathbb{K}) = {\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K}) + 6\lambda(N)$ と表され、ここで $\lambda(N)$ はウォーカー正規化されたカスン不変量である。
• ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ は第一ベッチ数が1である3次元多様体に対して適切に定義された不変量を誘導し、ランク1の場合に望月の2ループ不変量と同値である。
• $0$-手術を通じて、${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ は有理ホモロジー球面上のゼロホモロジーカーブの不変量 $\hat{{\mathcal{Q}}}$ を誘導し、これはクリッカー有理的リフトの2ループ部分と同値であると予想される。
• この構成は、ゼロホモロジーカーブに対して、全クリッカー有理的リフトのコンツェビッチ積分と同値であると予想される位相的不変量へと一般化できる。
• ${\mathcal{Q}}$ のフレームドカーブ $\mathbb{K}$ の変更に伴う変動は、そのフレームクラスの差に支配され、その変化は普遍的な有限型不変量の変動 $\frac{1}{4}(p_1(\tau) - p_1(\tau'))\xi_n$ と一致する。