[論文レビュー] Knot polynomials via one parameter knot theory

Thomas Fiedler|ArXiv.org|Dec 5, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、穴あきトーラス内の1パラメータ族の絡み目の枠組みを用いて、絡み目の多項式を構成する新しいフレームワークを提案する。このフレームワークは、絡み目図の空間内におけるループのホモロジー類を活用する。著者らは、これらのループ内の三重点および自己接点における重み付き和を通じて代数的不変量を定義し、四面体および立方体の方程式を満たす非自明な5つの絡み目多項式を導出する。これは、クラスカル・ブラケット多項式およびアレクサンダー多項式の状態モデルを拡張するものである。

ABSTRACT

We construct new knot polynomials. Let $V$ be the standard solid torus in 3-space and let $pr$ be its standard projection onto an annulus. Let $M$ be the space of all smooth oriented knots in $V$ such that the restriction of $pr$ is an immersion (e.g. regular diagrams of a classical knot in the complement of its meridian). There is a canonical one dimensional homology class for each connected component of $M$. We construct homomorphisms from the first homology group of $M$ into rings of Laurent polynomials. Each such homomorphism applied to the canonical homology class gives a knot invariant. Let $γ$ be a generic smooth oriented loop in $M$ (i.e. a one parameter family of knot diagrams in the annulus). For finitely many points in $γ$ the corresponding knot diagram has in the projection $pr$ an ordinary triple point or an ordinary auto-tangency. To each such diagram we associate some Laurent polynomial by using extensions of the Kauffman bracket or of the Kauffman state model for the Alexander polynomial. We take then an algebraic sum of these polynomials over all triple points and all autotangencies in $γ$. The resulting polynomial depends only on the homology class of $γ$ if and only if it verifies two sorts of equations: the tetrahedron equations and the cube equations. We have found five different non trivial solutions.

研究の動機と目的

• 標準的な穴あきトーラス内の1パラメータ族の絡み目を研究することにより、絡み目多項式を構成する新しい手法を開発すること。
• 穴あきトーラス内の正則な絡み目の空間の1次ホモロジー群からローレンツ多項式環へのホモーレジズムを介して不変量を定義すること。
• ループ軌道における特異点に起因する四面体および立方体の方程式を満たすことで、同相型不変性を保証すること。
• クラスカル・ブラケット多項式およびアレクサンダー多項式の状態和モデルを、三重点および自己接点におけるマークを含む形に一般化すること。
• コホモロジー的およびホモロジー的解釈を通じて、これらの不変量の位相的および代数的構造を解明すること。

提案手法

• 標準的な穴あきトーラス $V$ 内の滑らかで向き付けられた絡み目からなる空間 $M$ を定義し、アニュラスへの正則射影を伴う。
• ホワイトニーの技法を用いてリードマイスターI移動を避ける近似により、$H_1(M)$ 内の非自明なホモロジー類を表す標準的ループ（「標準的ループ」）を構成する。
• ループ軌道における特異点（三重点および自己接点）を特定し、その射影が一般的でない振る舞いを示す点とする。
• クラスカル・ブラケットの拡張およびアレクサンダー多項式の状態モデルの拡張を用いて、各特異点にローレンツ多項式を割り当てる。
• すべての特異点におけるこれらの多項式の重み付き和を、共向きおよびマークを用いて形成する。
• 得られた多項式がループのホモトピーに関して不変であるように要請し、四面体および立方体の方程式を満たす必要が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パラメータ族の絡み目における特異点の組み合わせ的データを用いて、$H_1(M)$ からローレンツ多項式環へのホモーレジズムとして絡み目多項式を構成できるか？
• RQ2 このような構成がwell-definedな不変量を生み出すために必要な十分条件（例：四面体および立方体の方程式）は何か？
• RQ3 クラスカル・ブラケット多項式およびアレクサンダー多項式の状態モデルを拡張した場合、四面体および立方体の方程式に対して非自明な解は存在するか？
• RQ4 これらの不変量はコホモロジー的類として解釈可能か？また、$M$ 上の多項式値1形式としての幾何的解釈は可能か？
• RQ5 これらの不変量は有限型不変量に分解可能か？また、カフマンや絡み目フローリングホモロジーによるカテゴリフィケーションは可能か？

主な発見

• 四面体および立方体の方程式に対して5つの非自明な解が得られ、5つの異なる絡み目多項式不変量が得られた。
• $S$, $S^+$, $S^-$, $X$, および $ heta$ のホモーレジズムは、すべりクラスにおいてすべて自明であるため、特定の変形に対して強い耐性を示す。
• この構成は、三重点および自己接点におけるマークを含む形で、クラスカル・ブラケット多項式およびアレクサンダー多項式の状態モデルを一般化する。
• 不変量がwell-definedであるための必要十分条件は、多項式割り当てが四面体および立方体の方程式を満たすことであり、これは状態モデルの代数的構造を制約する。
• 本手法は、有限型不変量やカテゴリフィケーションへの潜在的関係を有する、新しいコホモロジー的フレームワークを提供する。
• 繰り返しのサテライトや高次特異点を用いた高次元一般化への道筋が示唆されるが、計算の複雑さは依然として主要な障壁である。